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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat SMS }
\lfoot{\small{La Réunion}}
\rfoot{\small{juin 2006}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{ \decofourleft~Baccalauréat SMS La Réunion 2006 \decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice} \hfill }

\medskip

Le tableau suivant, extrait du dernier recensement de l'INSEE, présente des données concernant le département du Nord et ses 6 arrondissements. Il porte sur le nombre de naissances observées dans ce département, et parmi elles, précise le nombre de nouveaux-nés bénéficiant d'un allaitement, et le nombre de mères n'ayant pas subi la totalité des sept consultations prénatales normalement prévues.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|l|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
					&\footnotesize Nom de la Zone	&\footnotesize  Nombre de naissances	&\footnotesize Nombre de	nouveaux-nés bénéficiant d'un allaitement		&\footnotesize  Nombre de naissances dont la mère a bénéficié de moins de  7 consultations prénatales\\\hline
ARRONDISSEMENT		&AVESNES-SUR-HELPE&\np{3210}	&\np{1226}	&371\\ \hline
					&CAMBRAI			&\np{2194}	&864		&379\\ \hline
					&DOUAI				&\np{3395}	&\np{1379}	&364\\ \hline
					&DUNKERQUE			&\np{5026}	&\np{1921}	&488\\ \hline
					&LILLE				&\np{17967}	&\np{9818}	&\np{2092}\\ \hline
					&VALENCIENNES		&\np{4881}	&\np{2163}	&608\\ \hline
DÉPARTEMENT DU NORD	& TOTAL				&\np{36673}	&\np{17371}	&\np{4302}\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\begin{enumerate}
\item
	 \begin{enumerate}
		\item  On sait par ailleurs que $7,29$\,\%
 des nouveaux-nés de Cambrai étaient de \og petit poids \fg, c'est-à-dire avaient un poids de naissance inférieur à \np{2500}~grammes. Déterminer le nombre de ces nouveaux-nés de \og petit poids \fg{} en arrondissant à l'unité.
		\item Les nouveaux-nés de \og petit poids \fg{} de Cambrai représentent $6,14$\,\%  de tous les nouveaux-nés de \og petit poids \fg{} du département du Nord. Calculer le nombre des nouveaux-nés du Nord qui sont de \og petit poids \fg{} (on arrondira à 1 près).
		
\emph{Dans les questions suivantes, les résultats seront donnés sous forme décimale arrondie à} $0,001$ \emph{près}.
	\end{enumerate}
\item On choisit au hasard un nouveau-né dans le département du Nord. On considère les évènements suivants :

\setlength\parindent{5mm}  
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] $A$ : \og le nouveau-né bénéficie d'un allaitement \fg{} ;
\item[$\bullet~$] $D$ : \og le nouveau-né est né dans l'arrondissement de Dunkerque \fg{}.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm} 

	\begin{enumerate}
		\item Calculer la probabilité de chacun des évènements $A$ et $D$.
		\item Définir par une phrase l'évènement $\overline{A}$ et calculer sa probabilité.
		\item Définir par une phrase l'évènement $\overline{A} \cap D$ et calculer sa probabilité.
		\item Calculer la probabilité de l'évènement $\overline{A} \cup D$.
	\end{enumerate}

\item On choisit maintenant au hasard un nouveau-né du département du Nord dont la mère n'a pas bénéficié des sept consultations prénatales. Quelle est la probabilité qu'il soit né à Lille ?
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill }

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle [0~;~5] par

\[ f(t) = 30 \text{e}^{-0,4t}\]

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $f'(t)$.
		\item Étudier le signe de $f'(t)$ sur l'intervalle [0~;~5].
		\item En déduire le tableau de variations de $f$ (dans ce tableau n'apparaitront que des valeurs exactes).
 	\end{enumerate}
\item Reproduire et compléter le tableau suivant en donnant les résultats arrondis à $0,1$ près :
 
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$t$	&0	&0,5	&1	&1,5	&2	&2,5	&3	&4	&5\\ \hline
$f(t)$	&	&	&20,1	&	&13,5	&	& 9	&	&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\item Tracer la courbe représentative de la fonction $f$dans le plan rapporté à un repère orthogonal en prenant pour unités graphiques :

\setlength\parindent{5mm} 
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$]2 cm pour 1 unité sur l'axe des abscisses.
\item[$\bullet~~$]0,5 cm pour 1 unité sur l'axe des ordonnées.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm} 
 
\end{enumerate}
 
\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

On dissout $30$ kg de sucre dans de l'eau. À chaque instant $t$, exprimé en heures, on note $y(t)$ la quantité, exprimée en kg, de sucre non encore dissous. On admet que la fonction $y$ est solution de l'équation différentielle $y'= - 0,4y$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Résoudre l'équation différentielle $y'= - 0,4y$.
		\item Trouver la solution telle que $y(0) = 30$ puis vérifier que cette solution est la fonction $f$ de la partie A.
	\end{enumerate}
\item Utiliser la partie A pour déterminer graphiquement, en faisant apparaitre les traits de construction utiles :
	\begin{enumerate}
		\item  Au bout de combien de temps on aura 50\,\%
 de la quantité de sucre dissoute. 
		\item Le temps pendant lequel la quantité de sucre dissous représente moins de 40\,\%  de la quantité initiale.
	\end{enumerate}
\item Retrouver le résultat de la question 2. a.  en résolvant une équation. On donnera la valeur exacte de la solution puis une valeur approchée à $0,1$ près.
\end{enumerate}
\end{document}