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%Tapuscrit de Jean-Yves Le Goff
%Figures Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat SMS}
\lfoot{\small{La Réunion}}
\rfoot{\small novembre 2006}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center}\textbf{\Large\decofourleft~Baccalauréat SMS La Réunion septembre 2006~\decofourright\\
}

L'usage des calculatrices et des instruments de calcul est autorisé.

Une feuille de papier millimétré est nécessaire pour le problème.

Le formulaire officiel de mathématiques est joint au sujet.
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice}\hfill 8 points}

\medskip

Pour étudier les violences envers les femmes en France, l'INED (Institut National d'Études Démographiques) a effectué de mars à juillet 2000 une enquête par téléphone auprès de \np{6970}~femmes.

Les résultats concernant les violences subies au cours des 12 derniers mois dans l'espace public sont donnés dans le tableau suivant :\\

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Type de violences		&20-24 ans&25-34 ans&35-44 ans&45-59 ans&Total \\ \hline 
Insultes et menaces verbales&179&294&248&189&910\\ \hline
Agressions physiques		&20	&31	&25	&37	&113\\ \hline
Être suivie					&89	&112&85	&62	&348\\ \hline
Exhibitionnisme				&64	&64	&36	&26	&190\\ \hline
Avances et agressions sexuelles&47&50	&19	&11&127\\ \hline
Aucune agression			&318&\np{1383}&\np{1709}&\np{1872}&	\np{5282}\\ \hline
Total&717&\np{1934}	&\np{2122}&\np{2197}&\np{6970}\\ \hline
\multicolumn{6}{r}{\footnotesize (source : http://www.ined.fr/ Enquête Enveff)}
\end{tabularx}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer le pourcentage, à 0,1\,\% près, des femmes ayant subi des insultes et menaces verbales parmi les femmes âgées de 20 à 24~ans, puis parmi les femmes âgées de 35 à 59 ans.

\emph{Dans les questions suivantes, les résultats seront donnés à $0,001$ près.}

\item On choisit au hasard une femme parmi les \np{6970} femmes interrogées. On considère les évènements suivants :

$A$ :  \og la femme est âgée de 20 à 24 ans \fg ;
    
$B$ : \og la femme a été suivie ou a subi des avances et une agression sexuelle \fg.

	\begin{enumerate}
		\item Calculer la probabilité des évènements $A$ et $B$.
		\item Définir par une phrase les évènements $A \cup B$ et $\overline{A}~ \cup  B$, puis calculer leur probabilité.
	\end{enumerate}
\item On choisit au hasard une femme âgée de 20 à 24 ans parmi les femmes interrogées.

Déterminer la probabilité pour qu'elle ait subi une agression physique.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Problème \hfill 12 points}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Partie A}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur I = [0~;~7] par
 
\[f(t) = 50 t \text{e}^{-0,5 t + 1}.\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Calculer $f'(t)$ et vérifier que $f'(t) = (50 - 25 t) \text{e}^{-0,5 t + 1}$, pour tout $t$ de [0~;~7].
\item Étudier le signe de $f'(t)$.
\item Construire le tableau de variations de $f$ sur I.
\item Recopier et compléter le tableau de valeurs suivant (arrondir les résultats à $10^{-1}$ près) :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{11}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$t$		&0	&0,4	&0,5	&1		&2	&3	&4		&5 	&6 		&7\\ \hline 
$f(t)$	&	&44,5	&		&82,4	& 	&91	&73,6	&	&40,6	& \\ \hline
\end{tabularx} 

\medskip

\item On munit le plan d'un repère orthogonal d'unités graphiques 2~cm en abscisses et 0,2~cm en ordonnées. Construire la courbe représentative de $f$ dans ce repère.
\end{enumerate}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Partie B}

\medskip

Avant de mettre sur le marché une nouvelle crème solaire, un laboratoire teste la qualité d'un composant agissant comme un réservoir d'hydratation pour la peau tout au long de l'exposition au soleil. Pour cela, il a mesuré le taux d'hydratation de la peau $t$ heures après l'application.

La fonction $f$ étudiée dans la \textbf{partie A} correspond au taux mesuré, exprimé en pourcentage, pendant 7 heures.

À l'aide de la \textbf{partie A}, indiquer le moment où le taux est maximum.

\emph{Dans les questions suivantes, faire apparaître les traits de construction utiles.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer graphiquement le ou les moments où le taux d'hydratation est égale à 20\,\%.
\item La qualité est jugée satisfaisante pour commercialiser cette crème si le taux d'hydratation dépasse 50\,\% pendant une durée d'au moins six heures. À l'issue des résultats de ce test, le laboratoire peut-il commercialiser cette crème ?
\end{enumerate}
\end{document}