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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat SMS}
\lfoot{\small{La Réunion}}
\rfoot{\small{juin 2001}}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat SMS La Réunion   juin 2001~\decofourright}}\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{ Exercice 1} \hfill 8 points}

Une enqute effectuée par une association de consommateurs, concernant
 l'hygiène alimentaire, porte sur un échantillon de 800 personnes. 

Trois groupes bien différenciés apparaissent : 

\begin{itemize}
\item Type 1 : les personnes totalement végétariennes. On en compte 34.
\item Type 2 : les personnes végétariennes qui consomment cependant du
 poisson. On en compte 132.
\item Type 3 : les personnes non végétariennes. Elles constituent le
 reste de l'échantillon. 
\end{itemize}

On compte $55\,\%$ de femmes dans l'échantillon et, parmi celles-ci,
 5\,\% sont totalement végétariennes.

De plus, $7,5\,\%$ des hommes de l'échantillon sont du type 2.

\begin{enumerate}\item Reproduire et compléter le tableau suivant :

\begin{center} 
\begin{tabularx}{0.7\linewidth}{| l |*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\cline{2-5}
\multicolumn{1}{c|}{}	&Type 1	&Type 2	&Type 3	&Total\\ \hline
Femmes 					&		&				&&\\ \hline
Hommes 					&		&		&		&\\ \hline
Total 					&		&		&		&800 \\ \hline
\end{tabularx} \end{center}

Dans les questions suivantes, les résultats seront donnés sous forme
 décimale arrondie à 0,001 près. 

\item On choisit, au hasard, une des 800 personnes de 
l'échantillon, chacune ayant la même probabilité d'être choisie. 

	\begin{enumerate}
		\item Soit l'évènement $A$ : \og la personne choisie est non 
végétarienne \fg. Calculer la probabilité $P(A)$. 
		\item Soit l'évènement $B$ : \og la personne choisie est un homme \fg{}. Calculer
 la probabilité $P(B)$. 
		\item Définir par une phrase l'évènement $C = A ~\cap~ B$ et calculer
 sa probabilité. 
		\item Définir par un évènement $D$ exprimé avec $A$ et $B$ la phrase \og La
 personne choisie est non végétarienne ou est un homme \fg{}, puis 
calculer sa probabilité.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{ Problème} \hfill 12 points}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Partie A}

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle [ 0 ; 2 ] par

\[f(x) = 12x + 12 - 12 \ln (3x + 1).\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer $f'(x)$ et montrer que $f'(x) = \dfrac{12(3x - 2)}
{3x+ 1}$.

\item Étudier le signe de $f'(x)$ et dresser le tableau de
 variations de la fonction $f$ sur l'intervalle [0~;~2]. 

\item Recopier et compléter le tableau de valeurs suivant 
(arrondir les résultats à $10^{-1}$ près) :

\begin{center}
\renewcommand\arraystretch{2.2} 
\begin{tabularx}{0.75\linewidth}{| l |*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$&0&$\dfrac{1}{2}$&$\dfrac{2}{3}$&1& $\dfrac{3}{2}$&2~~\\ \hline
$f(x)$& & & 6,8 & 	7,4& & \\ \hline
\end{tabularx} 
\end{center}
\renewcommand\arraystretch{1}

\item Tracer la courbe représentative de $f$ dans le plan
 rapporté à un repère orthogonal.

(Unités graphiques : 6 cm pour une unité en abscisse et 1 cm pour une
 unité en ordonnée). 
\end{enumerate}

\bigskip 

\textbf{ Partie B}

On suppose que le taux d'anticorps (en g/l) présents dans le sang d'un
 nourrisson en fonction de l'âge (en années), depuis la naissance 
jusqu'à l'âge de 2 ans, est donné par la formule suivante : 

\[f(x) = 12x + 12 - 12 \ln (3x + 1).\] 

\begin{enumerate}
\item Calculer le taux d'anticorps à la naissance.
\item À l'aide de la \textbf{partie A}, déterminer l'âge,
 arrondi au mois le plus proche, pour lequel le taux d'anticorps est minimal. 
\item Déterminer graphiquement l'âge auquel le nourrisson
 retrouve le taux d'anticorps de sa naissance (laisser apparents les
 tracés utiles).
 \end{enumerate}
\end{document}