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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat SMS}
\lfoot{\small{La Réunion}}
\rfoot{\small{juin 2007}}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat SMS La Réunion 2007~\decofourright}}

\bigskip

Le candidat doit traiter l'exercice et le problème.
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice} \hfill 8 points}

\medskip
 
La Direction de la Sécurité Routière relève, tous les deux ans, le nombre de personnes tuées dans les accidents de la route. Le tableau ci-dessous indique, à partir de 1983, le rang $x$ de l'année ainsi que le nombre $y$ de personnes décédées dans un accident de la route au cours de cette année.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Année &1983&1985&1987&1989&1991&1993\\ \hline
$x$&0&1&2&3&4&5\\ \hline%
$y$&\np{11946}&\np{10454}&\np{9855}&\np{10528}&\np{9617}&\np{9052}\\ \hline \hline
Année &1995&1997&1999&2001&2003&2005\\ \hline
$x$ &6&7&8&9&10&11\\ \hline
$y$&\np{8413}&\np{7989}&
\np{8029}&\np{7720}&\np{5731}&\np{5318}\\ \hline%
\end{tabularx}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Dans le plan rapporté à un repère orthogonal \Oij, représenter, sur une feuille de papier millimétré, le nuage des points de coordonnées $x~;~ y)$ associé aux données du tableau.

On prendra pour unités graphiques :

1 cm pour une unité sur l'axe des abscisses et

1 cm pour \np{1000} unités sur l'axe des ordonnées.
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Calculer les coordonnées du point moyen G$_{1}$ des six premiers points et celles du point moyen G$_{2}$ des six derniers points.
		\item 	Placer ces points sur le graphique et tracer la droite (G$_{1}$ G$_{2}$).
		\item 	Montrer qu'une équation de la droite (G$_{1}$ G$_{2}$) est $y =  - 507x + \np{11509,5}$.
	\end{enumerate}
\item  On considère que la droite (G$_{1}$ G$_{2}$) permet de fournir une bonne approximation du nombre de décès dans les accidents de la route jusqu'en 2010.
	\begin{enumerate}
		\item Utiliser le graphique afin d'estimer le nombre de décès causés par un accident de la route en 2009. On fera apparaître les traits de construction.
		\item 	Déterminer par le calcul en quelle année on peut espérer que le nombre de tués par accident de la route soit inférieur à \np{4500}.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm} 

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 12 points} 

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Résoudre l'équation différentielle (E) : $y'= - 0,5 y$ où $y$ est une fonction dérivable sur $\R$ de la variable $t$.
\item  Déterminer la solution particulière de (E) vérifiant $y(0) = 0,8$.
\end{enumerate}
 
\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip
 
On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle I = [0~;~ 5] par :

 \[ f(t) =  0,8 \text{e}^{-0,5t}.\]
 
On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de cette fonction dans un repère orthogonal du plan. On désigne par $f'$ la fonction dérivée de $f$ sur I.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Vérifier que $f'(t) = - 0,4\text{e}^{-0,5t}$\\
Étudier le signe de $f'(t)$.
		\item  Dresser le tableau de variation de la fonction $f$ sur son intervalle de définition.
	\end{enumerate}
\item	Recopier et compléter le tableau suivant en arrondissant les résultats au centième.

\medskip

 \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{11}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$t$ 	&0,5	& 1	& 1,5	& 2	&2,5&3	&3,5	&4	&4,5	&5\\ \hline
$f(t)$	&0,62	&	&	&	&	&	&	&3,51	&	&\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\item	Déterminer le coefficient directeur de la tangente $T$ à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $0$.
\item	En prenant pour unités graphiques :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] 2 cm pour 1 unité sur l'axe des abscisses,
\item[$\bullet~$] 10 cm pour 1 unité sur l'axe des ordonnées,
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

tracer, sur une feuille de papier millimétré, la tangente $T$, puis la courbe $\mathcal{C}$.
\item	Résoudre par le calcul l'inéquation $f(t) \geqslant 0,2$ en donnant les résultats arrondis au centième.
\end{enumerate}
 
\medskip

\textbf{Partie C}

\medskip
 
Un patient a reçu par injection une substance médicamenteuse. Son sang présente alors une concentration de $0,8$~g/L du produit injecté. On note $f(t)$ la valeur de la concentration du produit dans le sang, en fonction du temps écoulé $t$ exprimé en heures.

On admet que $f(t) =  0,8  \text{e}^{-0,5t}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  De l'étude menée dans la partie B, déduire le temps, exprimé en heures et en minutes, pendant lequel la concentration du produit dans le sang du patient reste supérieure à $0,2$ g/L.
\item  Quel est le pourcentage qui exprime la baisse de la concentration du produit dans le sang du patient entre la 1\up{re} heure et la 4\up{e} heure (c'est-à-dire entre les instants $t = 1$ et $t = 4$) ?
\end{enumerate}
\end{document}