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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat SMS }
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{juin 2000}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat SMS Métropole juin 2000~
\decofourright}}\end{center}

\vspace{0,5cm}

Durée : 2 heures \hfill Coefficient : 2

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 8 points}

\medskip

La population de Montpellier était de \np{208103}~ habitants au 31/12/1990. Le recensement de 1999 a permis de dénombrer \np{225392}~ habitants à Montpellier au 31/12/1998.

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Quel est le pourcentage   d'augmentation de la population de Montpellier entre le 31/12/1990 et le 31/12/1998 ? (arrondir la réponse à 0,1 près).
		\item Combien cette ville comptera-t-elle d'habitants (à une centaine près) au 31/12/2006 si sa population augmente du même pourcentage en huit ans ?

Dans les questions suivantes, arrondir les résultats à 0,001 près.
			\end{enumerate}
\item Le tableau suivant donne la répartition de la population de Montpellier au 31/12/1990, en milliers d'habitants, par tranches d'âge et par sexe :

\begin{center}
\begin{tabular}{| l | c | c | c | c | c |c |}\hline
\backslashbox{Sexe}{Âge}& [0~;~19]& [20~;~39]& [40~;~59]& [60~;~74]& 75 
et plus& 	Total\\ \hline
Hommes	&23,2 &38,3	&19,0 	&10,2&	5,3	&96,0\\ \hline
Femmes 	&23,0 &42,8 &22,0 	&14,3&	10,0&112,1\\ \hline
Total 	&46,2 &81,1	&41,0	&24,5&	15,3&208,1\\ \hline
\end{tabular}
\end{center}

On choisit au hasard une personne qui habitait Montpellier au 31/12/1990, toutes les personnes ayant la même probabilité d'être choisies. Calculer la probabilité de chacun des 
évènements :

$A$ : \og la personne choisie avait au moins 60 ans au 31/12/1990 \fg{},

$B$ : \og la personne choisie était une femme \fg{}.

\item Définir par une phrase chacun des évènements 
$\overline{A}$ et $A ~\cap~ B$, et calculer leurs probabilités.
\item On choisit au hasard une personne qui habitait Montpellier au 31/12/1990 et qui était âgée d'au moins 60 ans à cette date.

Quelle est la probabilité pour que ce soit une femme ?
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 12 points}

\bigskip

\textbf{Partie A : Étude d'une fonction.}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle [0~;~11 ] par :

\[f(t) = \text{e}^{0,2t + 6}.\]

\begin{enumerate}
\item Calculer $f'(t)$.
\item Étudier le signe de  $f'(t)$, puis dresser le tableau 
de variations de $f$ sur l'intervalle [0~;~11] (On donnera les valeurs exactes de $f(0)$ et $f(11)$.
\item Reproduire et compléter le tableau suivant (on arrondira les valeurs à la dizaine
la plus proche) :

\[\begin{tabularx}{\linewidth}{| *{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
$t$		&0		&2	&4	&6			&8			&10 	&11\\ \hline
$f(t)$	&400	&	&	&\np{1340}	&\np{2000} 	& 		& \\ \hline
\end{tabularx}\]

\item Tracer la courbe représentative de la fonction 
$f$ dans le plan rapporté à un repère orthogonal tel que :\\
$1$ cm représente une unité sur l'axe des abscisses ; $1$ cm représente $200$ unités sur l'axe des ordonnées.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B : Application}

\medskip

On étudie l'évolution d'une culture bactérienne en milieu liquide non renouvelé.

On admet que l'expression $f(t) = \text{e}^{ 0,2t + 6}$ donne le nombre de bactéries présentes dans cette culture en fonction du temps $t$, exprimé en heures.

\begin{enumerate}
\item Calculer le nombre de bactéries présentes dans le liquide au bout de 5~h 30~min. (Le résultat sera arrondi à la dizaine d'unités la plus proche).
\item En utilisant le graphique de la \textbf{partie A}, déterminer au bout de combien de temps la population de bactéries aura doublé (faire apparaître les tracés utiles et donner une réponse en heures et minutes).
\item Résoudre algébriquement l'équation $f(t) = 800$ et retrouver le résultat de la question précédente.
\end{enumerate}
\end{document}