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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat SMS}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{juin 2004}}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat SMS Métropole juin 2004~\decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 8 points}

\medskip

Au cours d'une enquête auprès de 250~personnes sans domicile fixe fréquentant les centres d'hébergement ou les distributions de repas chauds en janvier 2001, on a relevé que :

\setlength\parindent{5mm} 
\begin{itemize}
\item  82\,\% de ces personnes déclarent avoir une carte de sécurité sociale à
 leur nom et non périmée ou être inscrite sur la carte d'une autre 
 personne ;
\item  6\,\% ont une carte périmée ou en cours de demande ;
\item  11~personnes sont inscrites sur la carte de sécurité sociale d'une 
autre personne.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

D'autre part, parmi ces personnes, certaines bénéficient de la couverture maladie universelle (CMU).
 
\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Parmi les $250$ personnes ayant participé à l'enquête, $194$ ont une 
carte de sécurité sociale à leur nom et non périmée. Justifier ce nombre par un calcul.
\item Reproduire et compléter le tableau suivant, en donnant le nombre 
de personnes de chaque catégorie :

{\small \begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{5cm}|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X |}c|} \cline{2-4}
\multicolumn{1}{ c|}{}			&Bénéficie de la CMU&Ne bénéficie pas de la CMU&	Total\\ \hline
A une carte de sécurité sociale 
à son nom et non périmée		&52		&	& \\  \hline
Est inscrit sur la carte
 d'une autre personne			&		&5	&11\\\hline
A une carte périmée				&3		&	& \\ \hline
A une carte de sécurité 
sociale en cours de demande		&4		&	&8\\ \hline
N'a pas de carte de sécurité 
sociale et n'en n'a pas fait la demande	&	&17& \\\hline
Total							&		&	&250\\ \hline
\multicolumn{4}{r}{\footnotesize Source : site www.insee.fr}
\end{tabularx} 
\end{center}}

\medskip

\item Parmi les personnes bénéficiant de la CMU, quel est le pourcentage de celles qui sont inscrites sur la carte d'une autre personne ? (Le résultat sera donné à $0,1$ près)
 \end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Pour réaliser cette enquête, chaque personne interrogée a complété une fiche de renseignements. Les 250~fiches ont été rassemblées. De l'ensemble de ces fiches, on en tire une au hasard ; chacune a la même probabilité d'être tirée.

On considère les évènements suivants :

$A$ : \og La fiche est celle d'une personne bénéficiant de la C.M.U \fg{};

$B$ : \og La fiche  est celle d'une personne inscrite sur la carte d'une autre personne \fg.

Dans les questions suivantes, les résultats seront donnés sous forme décimale exacte.

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Écrire les évènements suivants à l'aide d'une phrase : $A~\cap~B$ ;  $A~\cup~B$.
\item Calculer la probabilité de chacun des évènements suivants : $A$ ; $B$ ; $A~\cap~B$.
\item En déduire la probabilité de l'évènement $A~\cup~B$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 12 points}

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Cette partie concerne l'étude et la représentation graphique de la 
fonction $f$ définie sur l'intervalle $\left[0~;~\dfrac{5}{2}\right]$ par : 

\[f(x) = \ln (4x + 1) - x + 1.\]

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Calculer $f'(x)$ et vérifier que : $f'(x) = \dfrac{- 4x + 3}{4x + 1}$.
	\begin{enumerate} 
		\item Résoudre l'équation $f'(x) = 0$.
		\item Étudier le signe de $f(x)$.
		\item Dresser le tableau de variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $\left[0~;~\dfrac{5}{2}\right]$.
	\end{enumerate}

(Les valeurs utiles de $f(x)$ seront données sous forme exacte.)
\item Recopier et compléter le tableau de valeurs suivant (arrondir les 
résultats à $10^{-2}$ près) :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
$x$		&0	&0,5 	&0,75	&1	&1,5	&2 		&2,5\\ \hline
$f(x)$	&	&1,60	&		&	&1,45	&1,20	& \\ \hline
\end{tabularx}
\medskip

\item Sur la feuille de papier millimétré fournie, tracer la courbe 
représentative de la fonction $f$ en prenant pour unité graphique 5~cm pour 1~unité sur les deux axes.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Dans cette partie, on utilise les résultats précédents pour étudier la glycémie (taux de glucose sanguin) d'une personne observée après ingestion de sirop de glucose.

On suppose que cette glycémie $\left(\text{en g.L}^{-1}\right)$ en fonctipn du temps $x$ (en heures) est donnée par 

\[f(x) = \ln (4x + 1) - x + 1\]

où $x$ varie dans l'intervalle $\left[0~;~\dfrac{5}{2}\right]$.

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Déterminer l'instant (en minutes) auquel la glycémie de cette personne est maximale.
\item Toute modification de la glycémie qui s'écarte de 25\,\% de la valeur moyenne de 1 g.L$^{-1}$ provoque des perturbations plus ou moins graves chez l'homme.

Déterminer l'intervalle dans lequel doit rester la glycémie pour 
éviter toute perturbation.
\item Une glycémie supérieure à 1,25 g.L$^{-1}$ est appelée hyperglycémie ; une glycémie inférieure à 0,75 g.L$^{-1}$ est appelée hypoglycémie.
	\begin{enumerate} 
		\item Déterminer graphiquement le ou les intervalles de temps (en heures) pendant lesquels la personne observée est en hyperglycémie (faire apparaître les traits de construction utiles).
		\item Même question pour l'hypoglycémie.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}