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%tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small{Baccalauréat SMS}}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{juin 2006}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat SMS Métropole  juin 2006 \decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice } \hfill 8 points}

\medskip

\textbf{Questionnaire à choix multiple :}

\medskip

Cocher les bonnes réponses, il y en a au moins une par question.

\emph{ Toute bonne réponse rapporte   $1$ point, toute erreur retire $0,5$ point,  l'absence de réponse ne retire rien. Si le total des points est négatif la note de l'exercice sera ramenée à zéro.}

\begin{enumerate}
\item  Soient $A$ et $B$ deux évènements tels que leurs probabilités vérifient : 

$P(A) = P(B) = 0,2$ et $P(A \cap B) = 0,1$. Alors $P(A \cup B)$ est égal à :

\[\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
$\Box \quad	0,2$&	$\Box \quad 0,3$& $\Box \quad	0,4$&			$\Box \quad 0,5$
\end{tabularx}\]

\item La fonction $f$ définie sur [1~;~12] par  $f(x) = \dfrac{- x^2 + 3x - 4}{x}$	a pour dérivée la fonction $f'$ telle que $f'(x) = $

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
$\Box \quad	-1 + \dfrac{4}{x^2}$&	$\Box \quad \dfrac{4 - x^2}{x^2}$& $\Box \quad	\dfrac{x^2 - 4}{x^2}$& 			$\Box \quad \dfrac{-2x + 3}{1}$
\end{tabularx}
\end{center}

\item On considère la fonction logarithme népérien notée $\ln$.

$\ln 27$ est égal à :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
$\Box \quad	3\ln 3$&$\Box \quad 9 \ln 3$&	$\Box \quad 27\ln 1$&$\Box \quad \ln 9 + \ln 3$\end{tabularx}
\end{center}

\item On considère la fonction $f$ définie sur [0,5 ~;~ 12] par $f(x) = 2\ln x$ et $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal.

Le coefficient directeur de la tangente à $\mathcal{C}$ au point d'abscisse 4 est :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
$\Box \quad	 2\ln 4$ &	$\Box \quad 0$ &	$\Box \quad 0,25$ &	$\Box \quad 	0,5$
\end{tabularx}
\end{center}

\item Dans un classe de 20 élèves, 15 sont des filles, et il y a 8 élèves qui portent des lunettes. Par ailleurs un tiers des filles portent des lunettes. On prend un élève au hasard. 
\begin{enumerate}
\item  la probabilité que cet élève soit une fille est de :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
$\Box \quad \dfrac{1}{15}$ &	$\Box \quad 0,75$ &	$\Box \quad 0,125$ &	$\Box \quad  0,067~\text{environ}$
\end{tabularx}
\end{center}

\item la probabilité que ce soit un garçon et qu'il porte des lunettes est de :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
$\Box \quad 0,6$  &	$\Box \quad	 0,15$  &	$\Box \quad	0,4$   &	$\Box \quad	0,5$
\end{tabularx}
\end{center}

	\end{enumerate}
 \end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 12 points} 

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur [0~;~7] par

\[f(x) = 12 + 3x - \text{e}^{0,5x}.\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $f'(x)$ et montrer que : $f'(x) =  3 - 0,5 \text{e}^{0,5x}$.
		\item Résoudre l'inéquation $f'(x) \geqslant  0$.
		\item Dresser le tableau de variations de la fonction $f$.
	\end{enumerate}
\item Recopier et compléter le tableau suivant (arrondir les résultats à $0,1$ près) :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
 $x$	&0	&1	&2	&3	&$2\ln 6$	&4		&5		&6		&7\\ \hline
$f(x)$	&	&13,4	&	&	&		&16,6	&14,8	& 9,9	& \\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\item Tracer la courbe représentative de $f$ dans un repère orthogonal ; unités :

\setlength\parindent{5mm} 	
\begin{itemize}
\item 2~cm pour une unité en abscisses et
\item 1~cm pour une unité en ordonnées.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

On introduit une substance S dans un liquide contenant un certain type de micro-organismes afin d'en stopper la prolifération.

On suppose que le nombre (en millions) de micro-organismes présents au bout du temps $x$ (en heure) écoulé depuis l'introduction de la substance S est donné par l'expression :
 
\[f(x) = 12 + 3x - \text{e}^{0,5x}.\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Quel est le nombre de micro-organismes au bout d'une heure ? au bout d'une heure et trente minutes ? (Arrondir les résultats à \np{100000} près)
\item Au bout de combien de temps la population est-elle maximale ? Quelle est cette population maximale ?
\item Déterminer graphiquement durant combien de temps la population est supérieure ou égale à 12 millions (laisser apparents les traits de construction).
\end{enumerate}
\end{document}