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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small{Baccalauréat SMS}}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{juin 2007}}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat SMS Métropole juin 2007 \decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice} \hfill 8 points}

\medskip

Une enquête a été menée sur le mode de vie de $700$~femmes de plus de 40~ans toutes atteintes d'un cancer lié au tabac. On a obtenu les renseignements suivants :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$]  47\,\%
 de ces femmes n'ont jamais fumé ;
\item[$\bullet~$] 6\,\%
 de ces femmes consomment beaucoup d'aliments riches en béta-carotène ;
\item[$\bullet~$] Parmi les femmes consommant beaucoup de béta-carotène, 7 n'ont jamais fumé.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  C'est au cours d'une enquête sur le mode de vie et l'état de santé d'une population de \np{60000} femmes de plus de $40$~ans, que l'on a trouvé que 700 de ces femmes étaient atteintes d'un cancer lié au tabac.
Déterminer pour cette population le pourcentage de femmes ayant développé un cancer lié au tabac.
Arrondir à 0,01\,\% près.
\item  Reproduire et compléter le tableau suivant.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3cm}|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}c|}\hline
						&Femmes n'ayant jamais fumé	&Fumeuses ou anciennes fumeuses&Total \\ \hline
Femmes consommant beaucoup de béta-carotène	&	&	& \\ \hline
Femmes consommant peu de béta-carotène		&	&	& \\ \hline
Total										&	&	&700 \\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\item  On choisit au hasard une femme parmi celles qui ont développé un cancer lié au tabac.
On note $A$ l'évènement : \og la femme choisie consomme beaucoup d'aliments riches en béta-carotène \fg{} et $B$ l'évènement : \og la femme choisie est une fumeuse ou une ancienne fumeuse \fg.

Si nécessaire arrondir les résultats à $0,001$ près.
	\begin{enumerate}
		\item  Calculer la probabilité de chacun des évènements $A$ et $B$.
		\item  Définir par une phrase l'évènement $A \cap B$, puis calculer la probabilité de cet évènement.
		\item  Définir par une phrase l'évènement $A\cup\overline{B}$, puis calculer la probabilité de cet évènement.
	\end{enumerate}
\item  On choisit au hasard une femme parmi les fumeuses ou les anciennes fumeuses.

Calculer la probabilité que cette femme consomme beaucoup de béta-carotène.

Arrondir le résultat à $0,001$ près.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice} \hfill 8 points}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle [0~;~12] par : 

\[f(t) = 2 + 15t\text{e}^{- 0,8t}.\]

On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthogonal en prenant pour unités graphiques :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$]  2~cm pour une unité sur l'axe des abscisses
\item[$\bullet~$]  1~cm pour une unité sur l'axe des ordonnées.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item
	 \begin{enumerate}
		\item  Calculer $f'(t)$ et montrer que : $f'(t) = 12(1,25 - t)\text{e}^{- 0,8t}$.
		\item  Étudier le signe de $f'(t)$ sur l'intervalle [0~;~12].
		\item  Dresser le tableau de variations de la fonction $f$ sur l'intervalle [0~;~12].
		
Indiquer les valeurs exactes des nombres portés dans ce tableau : $f(0)$,
  $f(12)$ et le maximum de $f$.
	\end{enumerate}
\item  Soit A le point d'abscisse $0$ de la courbe $\mathcal{C}$ et ($T$) la tangente en A à la courbe $\mathcal{C}$.

Déterminer une équation de la tangente ($T$).
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Reproduire et compléter le tableau suivant (arrondir les résultats à $0,1$ près).
		
\medskip 
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{11}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$t$&0&0,5&1&1,5&2&3&5&7&9&12\\ \hline
$f(t)$&&& 8,7&&& 6,1&3,4&&2,1&\\ \hline
\end{tabularx}
\medskip
		\item Tracer la tangente ($T$) et la courbe $\mathcal{C}$ sur la feuille de papier millimétré fournie.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip
 
Un sportif a absorbé un produit dopant.

On admet que $f(t)$ représente le taux de produit dopant, en mg/L, présent dans le sang de ce sportif en fonction du temps $t$, en heures, écoulé depuis l'absorption durant les douze heures qui suivent cette absorption.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Déterminer par le calcul le taux de produit dopant présent dans le sang du sportif au bout de 2 heures et 30~minutes.

Arrondir à $0,1$ près.
\item  Au bout de combien de temps le taux de produit dopant dans le sang du sportif est-il maximal ?
Exprimer le résultat en heures et minutes.
\item  Les règlements sportifs interdisent l'usage de ce produit dopant. Le taux maximum autorisé est de $3$~mg/l.

Déterminer graphiquement au bout de combien de temps le taux de produit dopant dans le sang de ce sportif redescend en dessous de 3 mg/L.

Laisser apparents les traits de construction utiles.
\end{enumerate}
\end{document}