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%tapuscrit : Denis Vergès 
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\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
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\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat SMS}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{septembre 1998}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
\large{\textbf{\decofourleft~Baccalauréat SMS  Métropole septembre 1998~\decofourright}}
\end{center}

\begin{center}
\textbf{\emph{\footnotesize
L'usage des calculatrices et des instruments de calcul est autorisé.\\
L'épreuve comporte 3 pages, la page 3 est à rendre avec la copie.}}
\end{center}

\bigskip

 \textbf{Exercice \hfill 8 points}

Un humoriste a fait le \og raisonnement \fg{} suivant :

\og $40\:\%$ des accidents de la route sont provoqués par des conducteurs 
ayant absorbé de l'alcool avant de prendre le volant. Il y a 
donc plus d'accidents provoqués par des personnes sobres que 
par des personnes alcooliques. Il vaut donc mieux boire avant 
de conduire. \fg

 Pour apprécier ce \og raisonnement \fg, imaginons que, sur la route, 
il y a \np{1400}~conducteurs dont 32 ont bu. Sur ces \np{1400}~véhicules, 
on déplore 20~accidents.

\medskip

\begin{enumerate}
\item En reprenant la donnée \og 40\:\% des accidents de la route sont
provoqués par des conducteurs ayant absorbé de l'alcool \fg, calculer 
le nombre d'accidents provoqués par des conducteurs ayant bu.
\item Recopier et compléter le tableau suivant :

\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{3}{>{\footnotesize \centering \arraybackslash}X|}c|} \hline
~ & Conducteurs ayant provoqué un accident
 & Conducteurs n'ayant pas provoqué d'accident & Total \\ \hline
Conducteurs ayant bu  &   &   & 32 \\ \hline
Conducteurs sobres    &   &   &    \\ \hline
Total                 & 20 &  & \np{1400} \\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\emph{Dans toute la suite de l'exercice, les résultats seront donnés
avec une précision de $0,001$}.

\item On choisit au hasard un conducteur.

Calculer la probabilité des évènements suivants :

$A$ : \og Le conducteur choisi a bu et a provoqué un accident \fg{} ;
 
$B$ : \og Le conducteur choisi est sobre et a provoqué un accident \fg.
\item On choisit au hasard un conducteur parmi ceux qui ont bu.

Calculer la probabilité de l'évènement:

$C$ : \og Le conducteur choisi a provoqué un accident \fg.
\item On choisit au hasard un conducteur parmi ceux qui sont sobres.

 Calculer la probabilité de l'évènement :

$D$ : \og Le conducteur choisi a provoqué un accident \fg.
\item Que pensez-vous du \og raisonnement \fg{} de l'humoriste ?
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Problème \hfill 12 points}

\bigskip

\textbf{Partie A : Étude d'une fonction}

\medskip

La représentation graphique $(C)$ sur $[0~;~7]$ de la fonction $f$ définie par

\[f(x) = 7x\text{e}^{-x}\]

dans le repère \Oij, est donnée en annexe
(unités : 2~cm sur l'axe des abscisses et 4~cm sur l'axe des ordonnées). 
Cette annexe sera ensuite jointe à votre copie.

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la dérivée $f'$ de la fonction $f$ peut s'écrire :

\[f'(x) = 7(1 - x) \text{e}^{-x}.\] 

		\item Étudier le signe de $f'(x)$ sur l'intervalle [0~;~7].
		\item Dresser le tableau des variations de $f$.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item En faisant apparaître les constructions utiles, noter sur la
représentation graphique les solutions $\alpha$ et $\beta$ de
l'équation $f(x) = 1$ (on notera $\alpha$ la plus petite des deux). 
		\item Recopier et compléter le tableau suivant en donnant
les résultats à $10^{-2}$ prés.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
$x$   &0 	&0,1 	&0,2 	&0,3 	&2,9 	&3 	&3,1 	&3,2 \\ \hline
$f(x)$&  	&0,63 	&1,15 	&1,56 	&  		&  	&  		&0,91 \\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

		\item En déduire la valeur de $\alpha$ à $10^{-1}$ prés
par exc\`es et la valeur de $\beta$ à $10^{-1}$ pr\`es par défaut.
		\item Par lecture graphique, résoudre l'inéquation
$f(x) \ge 1$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B : Application}

\medskip

Une substance est injectée par voie intramusculaire. Elle passe 
progressivement du muscle au sang puis est éliminée par les reins.

Après étude, on constate que la quantité $q$ de substance contenue dans le 
sang (exprimée en cg) en fonction du temps $t$ (exprimé en heures) est :

\[q(t) = 7t \text{e}^{- t} \mbox{ pour } t \in [0~;~7].\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la quantité de substance présente dans le sang au bout de 1~h~30 min (calculer la valeur exacte puis donner une valeur approchée 
à $10^{-2}$ près).
		\item Par lecture graphique, en faisant apparaître
les constructions utiles, vérifier le résultat du a.
	\end{enumerate}
\item La substance n'est efficace que si la quantité présente dans le sang est 
supérieure ou égale à 1~cg.

En utilisant les résultats de la \textbf{partie A}, déterminer l'intervalle de temps durant lequel la substance est efficace.
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\textbf{Annexe à rendre avec la copie}
\end{center}

\bigskip
Nom Prénom : \dotfill

\bigskip

\begin{center}
\textbf{Représentation graphique $(C)$ sur [0~;~7] de la fonction $f$ définie 
par}

\boldmath\[ f(x) = 7 x \text{e}^{-x}  \]\unboldmath

\end{center}

\bigskip
\begin{center} \psset{xunit=2cm,yunit=4cm}
\begin{pspicture}(7,3)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=2,gridwidth=0.3pt,gridcolor=orange,subgridwidth=0.15pt,subgridcolor=orange](0,0)(7,3)
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\end{pspicture}
\end{center} 
\end{document}