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%tapuscrit : Denis Vergès
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\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat SMS}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{Septembre 2000}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat SMS Métropole septembre 2000~\decofourright}}\end{center}

\begin{center}
\textbf{\emph{\footnotesize
L'usage des calculatrices et des instruments de calcul est autorisé.\\
Une feuille de papier millimétré est nécessaire pour le problème.}}
\end{center}

\textbf{\textsc{Exercice} \hfill 8 points}

\medskip

Dans une partie du monde, on estime que 15\,\% de la population 
est contaminée par un virus X. La stratégie de dépistage met 
en place un test biologique qui devrait être négatif si la personne 
n'est pas contaminée et positif si la personne est contaminée.

On a observé les résultats suivants : 

\setlength\parindent{8mm}
\begin{itemize}
\item  Quand la personne est contaminée par le virus X, le test
est positif dans 99,6\,\% des cas.  
\item  Quand la personne n'est pas contaminée par ce virus, le test
est négatif dans 97,6\,\% des cas.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\begin{enumerate}
\item En considérant une population de 10 000 personnes observées, reproduire et compléter le tableau suivant :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}c|} \hline
 			 & Nombre de personnes 
			 contaminées 		& Nombre de personnes 	non contaminées	&Total \\ \hline
Test positif & 					& 										& \\ \hline
Test négatif & 					& 										& \\ \hline
Total        & 					& 										&\np{10000} \\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

Dans les questions suivantes les probabilités seront données à $10^{-4}$ près.

Pour les questions 2, 3, 4 on choisit au hasard une personne de cette population, toutes les personnes ayant la même probabilité  d'être choisies.

\item On considère les évènements :

$A$ : \og La personne est contaminée par le virus X \fg{} ;

$B$ : \og La personne a un test positif \fg.

Calculer la probabilité de chacun des évènements $A$ et $B$.

\item Calculer la probabilité pour que la personne soit contaminée
par le virus X et ait un test positif.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la probabilité pour que la personne ne soit pas
contaminée par le virus X et ait un test positif.
		\item Calculer la probabilité pour que la personne soit
 contaminée par le virus X et ait un test négatif.
		\item Calculer la probabilité que le test donne un résultat faux. 
	\end{enumerate}
\item On choisit maintenant une personne ayant un test négatif.

Quelle est la probabilité qu'elle soit contaminée par le virus X ?
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 12 points}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Partie A}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $I=[10~;~110]$ par :

\[ f(x) = - 0,1 x + 2 \ln (2x).\]

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $f'(x)$.
		\item Vérifier que
$f'(x) = \displaystyle\dfrac{2 - 0,1 x}{x}$ et résoudre l'équation $f'(x) = 0$.
		\item Reproduire et compléter le tableau de signes suivant :

\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{2}
\begin{tabular}{|c|p{3cm}p{3cm}|} \hline
$x$        	& 10 	& \hfill 110 \\ \hline
$2 - 0,1x$ 	&    	&      \\ \hline
$x$        	&    	&      \\ \hline
$\dfrac{2 - 0,1x}{x} $ &  & \\[0.2cm] \hline
\end{tabular}
\end{center}
		\item Donner le tableau de variations de $f$ sur l'intervalle $I$. 
	\end{enumerate}
\item Reproduire et compléter le tableau suivant, en donnant des valeurs de $f(x)$ arrondies à $10^{-1}$ près.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$    & 10 	& 15 	& 20 	& 30  	& 40 	& 50 	& 60 	& 70 	& 90 	& 110 \\  \hline
$f(x)$ &    	& 5,3	& 5,4	&     	& 4,8	&    	& 3,6	&    	&    	&     \\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\item Le plan est muni d'un repère orthogonal.
Pour le graphique, on prendra :

\setlength\parindent{8mm}
\begin{itemize}
\item  1~cm en abscisses pour $10$~unités ;
\item  2~cm en ordonnées pour $1$~ unité.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

Tracer la courbe représentative de la fonction $f$ en utilisant le tableau de valeurs de la question précédente.

\end{enumerate}

\textbf{Partie B}

\medskip

On admet que, pour un âge $x$ compris entre 15 ans et 60~ans, la capacité
pulmonaire de l'être humain, en litres, est donnée par :

\[f(x) = - 0,1 x + 2 \ln (2x).\]

\begin{enumerate}
\item En utilisant la \textbf{partie A}, préciser la capacité
pulmonaire maximale et l'âge où elle est atteinte.
\item Par lecture graphique, en faisant apparaître les tracés utiles,
indiquer à quel âge, après 15 ans, la capacité pulmonaire est de 5 litres.
\item Expliquer pourquoi la fonction $f$ ne peut pas être utilisée
pour évaluer la capacité pulmonaire d'une personne de 110 ans.
\end{enumerate}
\end{document}