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%tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small{Baccalauréat SMS}}
\lfoot{\small{Métropole-La Réunion}}
\rfoot{\small{septembre 2007}}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center}\textbf{Durée : 2 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat SMS Métropole--La Réunion
septembre 2007~\decofourright}}

\medskip

L'usage des calculatrices et des instruments de calcul est autorisé.

Une feuille de papier millimétré est nécessaire pour le problème.

Le formulaire officiel de mathématiques est joint au sujet.

\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice} \hfill 8 points}

\medskip

Toutes les questions suivantes sont indépendantes. Dans chaque question il y a une bonne réponse et une seule parmi les quatre réponses proposées.

La recopier sur votre copie sans justification.
 
\emph{Une réponse exacte donne $1$ point ; une réponse inexacte enlève $0,25$ point. L'absence de réponse est comptée $0$ point. Si le total est négatif la note est ramenée à $0$.}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item  La population d'une ville est de \np{30000} habitants.
Si elle augmente de 15\,\% par an, quel sera le nombre d'habitants de cette ville dans deux ans ?
 
\medskip
 
 \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
$\bullet~$	\np{30 675}&	$\bullet~$\np{35 175}&	$\bullet~$\np{39 000}& 	$\bullet~$\np{39 675}\\
 \end{tabularx}
\item  	Une enquête menée auprès de 250 personnes a donné les résultats suivants :

\medskip

\hspace{-1cm}  \begin{tabularx}{1.1\linewidth}{|l|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}c|} \cline{2-8} 
\multicolumn{1}{c|}{}&	\multicolumn{3}{c|}{soins au dispensaire}&\multicolumn{3}{c|}{soins à domicile} 	&total\\ \hline
Temps des soins				&10 min	&20 min&60 min&10 min	&20 min&60 min&\\ \hline
Femmes (30 ans et plus)	&13		&14		&3	&31	&15	&7	&83\\ \hline
Femmes (moins de 30 ans)&10		&8		&2	&14	&7	&8	&49\\ \hline
Hommes (30 ans et plus)	&24		&12		&2	&24	&13	&9	&84\\ \hline
Hommes (moins de 30 ans)&3		&4		&5	&12	&8	&2	&34\\ \hline
Total					&50		&38		&12	&81	&43	&26	&250\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

Tous les pourcentages donnés ci-dessous sont arrondis à 1\,\%. 
\begin{enumerate}
\item  Quel est le pourcentage des hommes ?

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
$\bullet~$47\,\%	&$\bullet~$34\,\% 	&$\bullet~$14\,\%&$\bullet~$79\,\%\\
\end{tabularx} 

\medskip

\item  Quel est le pourcentage des personnes qui reçoivent des soins de plus de 15 minutes ?

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
$\bullet~$25\,\%&	$\bullet~$40\,\%&	$\bullet~$48\,\%& $\bullet~$53\,\%\\
\end{tabularx}

\medskip

\item  Parmi les femmes, quel est le pourcentage de celles qui se font soigner à domicile ?

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
$\bullet~$58\,\%&	$\bullet~$62\,\%&	$\bullet~$65\,\%& 	$\bullet~$70\,\%\\
\end{tabularx}

\medskip

\item  Parmi les personnes qui reçoivent des soins domicile, quel est le pourcentage des hommes ?

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
$\bullet~$15\,\%&	$\bullet~$31\,\%&	$\bullet~$45\,\% &	$\bullet~$79\,\%\\
\end{tabularx}

\medskip
\end{enumerate}
\item  Un dé pipé dont les faces sont numérotées de 1 à 6 est tel que la probabilité d'apparition de chacune des faces numérotées de 1 à 5 est de $\dfrac{1}{8}$. Quelle est la probabilité d'apparition de la face 6 ?

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
$\bullet~$$\dfrac{1}{6}$&$\bullet~$$\dfrac{3}{8}$&$\bullet~$$\dfrac{1}{8}$&$\bullet~$$\dfrac{6}{8}$\\
\end{tabularx}

\medskip
\item  Soient $A$ et $B$ deux évènements tels que :
$p\left(\overline{A}\right) = 0,8$ et $p(B) = 0,6$ avec \\$p(A \cup  B) = 0,5$. Quelle est la probabilité $p(A \cap B)$ ? 

\smallskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
$\bullet~$ 0,1	&$\bullet~$0,3	&$\bullet~$0,7 &$\bullet~$0,9
\end{tabularx}
\item  	On considère la fonction $f$ définie sur [5~;~15] par $f(x) = 2x + 3 - \ln (x - 1)$ et $\mathcal{C}$ sa courbe	 représentative dans un repère orthogonal.

Quel est le coefficient directeur de la tangente à $\mathcal{C}$ au point d'abscisse 6 ?

\smallskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
$\bullet~\dfrac{9}{5}$& $\bullet~17- \ln 6$&$\bullet~2 - \dfrac{1}{6}$&$\bullet~
2 +  \dfrac{1}{5}$\\
\end{tabularx}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 12 points}

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Résoudre l'équation différentielle : $y'+ 0,2 y = 0$. 
\item  Trouver la solution de cette équation différentielle telle que $y(0) = 60$.
\end{enumerate}
 
\textbf{Partie B : étude d'une fonction}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle [0~;~7] par
 
 \[f (t) =  20 + 60\text{e}^{-0,2t}.\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Calculer $f'(t)$, où $f'$ est la fonction dérivée de la fonction $f$. 
		\item Étudier le signe de $f'(t)$ sur l'intervalle [0~;~7]. 
		\item En déduire le tableau de variations de la fonction $f$. Indiquer les valeurs exactes des nombres portés dans ce tableau.
	\end{enumerate}

\item Reproduire et compléter le tableau suivant en donnant les résultats arrondis à $0,1$ près :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline  
$t$		&0	&0,5	&1,5	&2	&3	&4	&5	& 7\\ \hline
$f(t)$	&	&		&		&	&	&	&	& \\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\item Tracer la courbe représentative de la fonction $f$ dans le plan rapporté à un repère orthogonal en prenant pour unités graphiques :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[] $2$~cm pour $1$~unité sur l'axe des abscisses,
\item[] $1$~cm pour $5$~unités sur l'axe des ordonnées.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\end{enumerate}
 
\textbf{Partie C : application}

\medskip

On s'intéresse à la variation de température d'un liquide en fonction du temps.

Le temps est exprimé en minutes et la température en degré Celsius.
 
À l'instant $t = 0$, ce liquide dont la température est $80^{\circ} $C est placé dans une salle à $20^{\circ}$C. Deux minutes plus tard la température du liquide est $60^{\circ}$ C environ.

On estime que la température du liquide à l'instant $t$ est égale à $f(t)$ où $f$ est la fonction définie dans la partie B.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Utiliser la partie B pour déterminer graphiquement, en faisant apparaître les traits de construction utiles : 
	\begin{enumerate}
		\item  La température du liquide au bout de une minute, puis au bout de trois minutes et trente secondes. 
		\item  Au bout de combien de temps la température du liquide aura-t-elle diminué de moitié.
	\end{enumerate}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item  Déterminer par le calcul la température du liquide au bout de deux minutes et trente secondes. Cette valeur sera arrondie au degré.
		\item Résoudre l'équation $f(t) = 40$. On donnera la valeur de la solution arrondie à la seconde.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}