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%tapuscrit : Denis Vergès 
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat SMS}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{septembre 1995}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat SMS Métropole septembre 1995~\decofourright}}

\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill 10 points}

\medskip

Chaque année le taux de natalité est calculé en divisant le nombre de naissances par le nombre d'habitants du pays.

Lors d'une étude statistique, menée en 1993 par l'INSEE, on a constaté en France, que le taux de natalité était en baisse.

Voici le tableau des résultats constatés :
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
Année 						&1984 	&1986 	&1988 	&1990 	&1992 \\ \hline
Rang de l'année $x_i$ 		&4  	&6 		&8 		&10 	&12  \\ \hline
Taux en \% de natalité $y_i$&1,38 	&1,40 	&1,37 	&1,34 	&1,31 \\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Construire le nuage de points $M\left(x_i~;~y_i\right)$ associé à cette série statistique dans un repère orthogonal.

\hspace*{2em} L'axe des abscisses est gradué à partir de 0 et on prendra 1~cm par rang d'année.

\hspace*{2em} L'axe des ordonnées est gradué à partir de 1 et on prendra 10~cm pour 1\,\%.
\item On note $G_1$ le point moyen des 2 premiers points et $G_2$ celui des 3 derniers.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer les coordonnées de $G_1$ et $G_2$
  et tracer la droite $\left(G_1G_2\right)$.
		\item Déterminer sous la forme $y = m x + p$ une équation
  de la droite $\left(G_1G_2\right)$.
	\end{enumerate}
\item On suppose que le taux de natalité $y$ est donné, en fonction
du rang $x$ de l'année, par  

$y = - 0,01 x + 1,44$.
	\begin{enumerate}
		\item Par le calcul, déterminer le taux de natalité
  que l'on peut prévoir en l'an 2000.
		\item Par lecture graphique, en faisant apparaître sur la
 figure les constructions utiles, indiquer à partir de quelle année on peut
 prévoir un taux de natalité inférieur à $1,29$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 10 points}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $I = [-3~;~3]$ par:

\[f(x) = \dfrac{x^2 - 1}{x^2 + 1}.\]


\textbf{I Reconnaissance de la courbe représentative de } \boldmath $f$ \unboldmath

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que pour tout $x$ de l'intervalle $I$,
 la fonction dérivée $f'$ de $f$ est définie par : $f'(x) = \displaystyle\frac{4x}{(x^2 + 1)^2} $ .
		\item Étudier suivant les valeurs de $x$ le signe de $f'(x)$.
		\item Donner le tableau de variation de $f$.
	\end{enumerate}
\item Déduire de la question précédente, en justifiant votre réponse,
 que les courbes $C_1$ et $C_2$, données sur la feuille annexe, ne peuvent pas
 représenter $f$.

\medskip

ON ADMETTRA QUE LA COURBE REPRÉSENTATIVE DE $f$ EST $C_3$
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{II Exploitation de la fonction \boldmath$f$ \unboldmath et de la courbe \boldmath$C_3$ \unboldmath}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que la fonction $f$ est paire. Comment cette propriété se
  traduit-elle sur la représentation graphique de $f$ ?
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $f(3)$.
		\item Donner l'intervalle décrit par $f(x)$ lorsque $x$
  décrit l'intervalle $[-3~;~3]$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Par le calcul, résoudre dans $I$ l'équation : $f(x) = 0$.
		\item Par lecture graphique, résoudre dans $I$  l'inéquation : $f(x) \leqslant 0$.
	\end{enumerate}  
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}
\textbf{ANNEXE}
\end{center}

\bigskip
\begin{center}
%C1
\psset{unit=1.4cm}
\begin{pspicture}(-4,-2)(4,2)
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-4,-2)(4,2)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\uput[dl](0,0){O}\rput(2.2,-1.5){Courbe $C_1$}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-4}{4}{1 x dup mul sub 1 x dup mul add div}
\end{pspicture}

\bigskip

\psset{unit=1.4cm}
\begin{pspicture}(-4,-2)(4,2)
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-4,-2)(4,2)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\uput[dl](0,0){O}\rput(2.2,-1.5){Courbe $C_2$}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-4}{4}{ x dup mul 1 sub 1 x dup mul add div 1 add}
\end{pspicture}

\bigskip

\psset{unit=1.4cm}
\begin{pspicture}(-4,-2)(4,2)
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-4,-2)(4,2)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\uput[dl](0,0){O}\rput(2.2,-1.5){Courbe $C_3$}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-4}{4}{ x dup mul 1 sub 1 x dup mul add div}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}