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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat   SMS }
\lfoot{\small{Nouvelle-Calédonie}}
\rfoot{\small{novembre 2004}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\vspace*{1,5cm}

\begin{center} 
\textbf{\Large  \decofourleft~Baccalauréat SMS  Nouvelle-Calédonie novembre 2004~\decofourright}

\end{center} 

\medskip

\textbf{\textsc{Exercice} \hfill 8 points}

\medskip

Avant de partir en vacances, une personne entreprend un régime afin de perdre du poids, en suivant les conseils d'un nutritionniste.

Elle se pèse régulièrement à la fin de chaque semaine de régime, le même jour, à la même heure.

Elle note l'évolution de son poids dans un tableau

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
rang de la semaine $x_{i}$	&1	&2		&3		&4	&5		&6		&7		&8\\ \hline
poids $y_{i}$ (en kg)		&63	&62,6	&61,4	&61	&61,2 	&60,6 	&60,4 	&59,8\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\begin {enumerate}
\item Représenter le nuage de points de coordonnées $\left(x_{i}~;~y_{i}\right)$ associé à cette série statistique dans un repère orthogonal. Prendre pour unités graphiques :

$\bullet~$ en abscisse $1,5$~cm pour $1$ semaine,

$\bullet~$ en ordonnée $5$ cm pour $1$ kg.

Graduer l'axe des abscisses à partir de $0$ ; l'axe des ordonnées à partir de $59$.
 \item Déterminer les coordonnées du point moyen $G$ du nuage et le placer sur le graphique précédent.
 
\item Soit ($D$) une droite d'équation $y = - 0,42x +p$. Déterminer le nombre $p$ sachant que ($D$) passe par $G$. 
\item On admet que la droite d'équation $y = - 0,42x + 63,14$ constitue un bon ajustement affine du nuage de points pendant $10$~semaines.
	\begin {enumerate}
		\item Construire cette droite sur le graphique.
		\item La personne voudrait atteindre le poids de $59$~kg. Si son régime dure $9$~semaines, selon les
conditions ci-dessus, aura-t-elle atteint son objectif ? (Justifier votre réponse à l'aide du graphique).
		\item Retrouver le résultat de la question précédente en résolvant l'inéquation $- 0,42x + 63,14 \leqslant 59$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 12 points}

\bigskip

\textbf{Partie  A}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle [40 ~;~ 80] par :

\[f(x) = 1 + 2\ln (0,04x).\]

\begin {enumerate}
\item 
	\begin {enumerate}
		\item $f'$ représentant la dérivée de la fonction $f$, vérifier que $f'(x) = \dfrac{2}{x}$.
		\item Donner le signe de $f'$ sur l'intervalle [40~;~80].
		\item Dresser le tableau des variations de $f$ sur ce même intervalle. (Donner les valeurs exactes de $f(40)$ et $f(80)$ puis des valeurs approchées arrondies à $0,01$ près).
	\end{enumerate}
\item Recopier et compléter le tableau de valeurs suivant en arrondissant les résultats à $0,01$ près :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$ 	&40	&45 	&50 &55  &60&65 &70 	&75 	&80\\ \hline
$f(x)$	& 	&2,18	&	&2,75&	&	&3,2 	&		& \\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\item Représenter graphiquement la fonction $f$ dans un repère orthogonal en prenant pour unités graphiques en abscisse 2~cm pour 5~unités, en ordonnée 10~cm pour 1~unité.

Graduer l'axe des abscisses a partir de 40 et l'axe des ordonnées à partir de 1.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie  B}

\medskip

Une infirmière libérale parcourt chaque jour entre 40 et 80 kilomètres. Elle calcule le montant de ses frais de déplacement.

Soit $g$ la fonction définie sur [40~;~80] par $g (x) = 20f(x)$ où $f$ est la fonction étudiée précédemment. On admet que $g(x)$ représente alors le montant des frais de déplacement exprimé en euros en fonction du nombre $x$ de kilomètres parcourus par jour.

\medskip

\begin {enumerate}
\item Déterminer le montant des frais de déplacement pour 40 kilomètres parcourus.
\item 
	\begin {enumerate}
		\item Résoudre graphiquement l'équation $f(x) = 3$.

Faire apparaître les points de construction utiles.
		\item En déduire à partir de combien de kilomètres ces frais de déplacement s'élèveront au moins à $60$ \euro.
	\end{enumerate}
\item Résoudre par le calcul l'inéquation $1 + 2\ln (0,04x) \geqslant  3$ et retrouver ainsi le résultat de la question précédente.
\end{enumerate}
\end{document} 