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%Tapuscrit Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat SMS}
\lfoot{\small{Nouvelle-Calédonie}}
\rfoot{\small novembre 2006}
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\begin{center}\textbf{\Large\decofourleft~Baccalauréat SMS Nouvelle-Calédonie novembre 2006~\decofourright\\
}


Le formulaire officiel de mathématiques est distribué en même temps que le sujet.

Deux feuilles de papier millimétré seront mises à la disposition des candidats.
 \end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice}\hfill 8 points}

\medskip

Le tableau suivant donne l'espérance de vie d'une femme selon son année de naissance. (source INSEE,
bilan démographique).

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{6}{>{\centering\arraybackslash}X|}}\hline
Année				&1985	&1988	&1991	&1994	&1997 	&2000\\ \hline
Rang de l'année $x_{i}$		&0		&3		&6		&9		&12 	&15\\ \hline
Espérance de vie $y_{i}$	&79,4	&80,5	&81,1	&81,8	&82,2	&82,8\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item  Représenter le nuage de points de coordonnées $\left(x_{i}~;~ y_{i}\right)$ associé à cette série statistique dans un repère orthogonal. On graduera l'axe des abscisses de $0$ à $25$. On prendra sur cet axe pour unité graphique : $1$ cm pour une unité. On graduera l'axe des ordonnées à partir de $79$. On prendra sur cet axe pour unité graphique : $2$ cm pour une unité.
		\item  Déterminer les coordonnées du point moyen G de ce nuage et le placer dans le repère.
		\item  On admet que la droite $(d)$ d'équation $y = 0,22x + 79,65$ constitue un bon ajustement de ce nuage.\\
Vérifier que le point G appartient a $(d)$.
		\item  Construire la droite $(d)$ sur le graphique précédent.
	\end{enumerate}
\item  Dans la suite de l'exercice on admet que la droite $(d)$ permet d'estimer l'espérance de vie des femmes nées jusqu'en 2010.
	\begin{enumerate}
		\item En utilisant le graphique et en laissant les traits de construction apparents, estimer l'espérance de vie d'une femme née en 2006.
		\item Sur la période de 6 ans allant de 1994 à 2000, l'espérance de vie a augmenté de 1,22\,\%.
		
Ce taux se maintiendra-t-il sur la période allant de 2000 à 2006 ? Justifier la réponse.
	\end{enumerate}  
\item  Estimer graphiquement à partir de quelle année de naissance l'espérance de vie d'une fille devrait dépasser 85 ans.
\end{enumerate} 
 
\vspace{0,5cm}
 
\textbf{\textsc{Problème}\hfill 12 points}

\medskip

Au cours d'une étude sur les rythmes cardiaques, on note toutes les cinq minutes à partir du temps $x =0$, correspondant au début de l'épreuve physique, le rythme cardiaque d'un sportif en pulsations par minute.

Les résultats obtenus ont permis de mettre en place un modèle mathématique étudié dans la partie A.

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

On considère que la fonction $f$ définie sur l'intervalle [0~;~30] par
 
\[f(x) = - 2x + 60 + 32 \ln (x  + 1)\]

permet d'estimer le rythme cardiaque à l'instant $x$ exprimé en minutes.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  $f'$ désignant la fonction dérivée de la fonction $f$, calculer $f'(x)$ pour tout $x$ dans l'intervalle [0~;~30] et vérifier que $f'(x) = \d
frac{2(15 - x)}{x + 1}$.
\item  Sur l'intervalle [0~;~30], étudier le signe de $f'(x)$.

En déduire le tableau de variations de la fonction $f$. On y fera figurer les valeurs exactes de $f(0),~f(15),~ f(30)$.
\item  Recopier sur la copie et compléter le tableau ci-dessous, en arrondissant les valeurs à l'unité près :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{8}{>{\centering\arraybackslash}X|}}\hline
$x$ 	&0	&5	&10	&15	&20	&25		&30\\ \hline
$f(x)$	&	&	&	&	&	&114	& 	\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\item  Tracer la courbe représentative de la fonction dans un repère orthogonal en prenant pour unités graphiques : 2 cm pour 5~minutes sur l'axe des abscisses 1~cm pour 10~pulsations par minute sur l'axe des ordonnées.
\end{enumerate}
\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

\begin{enumerate}

\item  Au bout de combien de temps le rythme cardiaque est-il maximal ?

Quelle valeur atteint-il ?
\item  Quel est le rythme cardiaque du sportif au repos  ?
\item  À l'aide du graphique, répondre aux questions suivantes :
	\begin{enumerate}
		\item  À quel instant le rythme est-il de 90 pulsations par minute ?
		\item  Dans les conditions de cette épreuve, on considère qu'une personne est en très bonne condition physique lorsque la durée pendant laquelle son c{\oe}ur bat à plus de 1,5 fois sa vitesse au repos est inférieure à vingt minutes. Ce sportif est-il en très bonne condition physique ? Justifier.
\item  De même, une personne est considérée en mauvaise condition physique lorsque son rythme cardiaque atteint ou dépasse le double du rythme au repos. Ce sportif est-il en mauvaise condition physique ? Justifier.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}