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%tapuscrit : Denis Vergès 
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat SMS}
\lfoot{\small{Nouvelle-Calédonie }}
\rfoot{\small{novembre 1997}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat SMS Nouvelle-Calédonie novembre 1997~\decofourright}}

\end{center}

\medskip

\begin{center}
\textbf{\textit{\footnotesize
L'usage des calculatrices et des instruments de calcul est autorisé}}
\end{center}

\textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill 8 points}

\medskip

Un club de vacances est constitué de 300 adhérents qui pratiquent chacun une
activité et une seule parmi les suivantes : la natation, l'escalade ou le VTT.

\setlength\parindent{6mm}
\begin{itemize}
\item 35\,\% des adhérents sont des filles. 
\item 30\,\% des adhérents pratiquent le VTT. 
\item 10\,\% des adhérents pratiquent l'escalade et parmi eux 60 \%
  sont des garçons. 
\item Il y a deux fois plus de garçons que de filles qui pratiquent
  le VTT.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Reproduire le tableau suivant et le compléter.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
                   &Natation 	&Escalade 	&VTT 	&Totaux \\ \hline
 Nombre de filles  &          	&          	&     	&        \\ \hline
 Nombre de garçons &          	&          	&     	&        \\ \hline
 Totaux            &          	&30    	 	&     	&300   \\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\item  Dans cette question, les résultats seront présentés sous forme
d'une fraction irréductible.

 On choisit au hasard un adhérent de ce club. 

 Calculer la probabilité de chacun des évènements suivants : 

 $A$ : \og Cet adhérent est un garçon qui pratique l'escalade \fg{} ; 

 $B$ : \og Cet adhérent ne pratique pas la natation \fg{} ; 

 $C$ : \og Cet adhérent est une fille qui pratique la natation
 ou un garçon qui ne pratique pas la natation \fg.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 12 points}

\bigskip
 \textit{Les parties A et B de cet exercice peuvent être traitées
indépendamment l'une de l'autre.}

On se propose d'étudier une fonction $f$ définie et dérivable
sur l'intervalle [0~;~2]. On désigne par $f'$ la fonction dérivée
de la fonction $f$.

\bigskip
\textbf{Partie A}
\bigskip

La courbe représentative de $(C)$ de $f$ est donnée dans le repère
orthonormal \Oij{} par le graphique ci-dessous.

On précise que la droite $(T)$ passant par le point O et le point
de coordonnées (1 ; 1) est tangente à $(C)$ en O.

\begin{center}\psset{unit=5cm,comma=true}

\begin{pspicture}(0,-0.4)(2,1.2)
\psgrid[gridlabelcolor=white,gridcolor=orange,subgridcolor=orange](0,0)(0,-0.4)(2,1.2)
\psaxes[linewidth=1pt,Dx=0.2,Dy=0.2](0,0)(0,-0.4)(2,1.2)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=0.2,Dy=0.2]{->}(0,0)(1,1)
\psline(0,0)(1.2,1.2)
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{2}{x 2 mul 1 add ln x sub}
\uput[dl](0,0){O}
\uput[u](2,-0.35){$(C)$} \uput[dr](1.2,1.2){$(T)$}
\psline[linestyle=dotted](1,0)(1,1)(0,1)
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item En utilisant ce graphique, donner la valeur de $f(0)$ et expliquer
pourquoi 

$f'(0) = 1$.
\item Déterminer graphiquement le nombre de solutions de l'équation
$f(x) = 0$, sur l'intervalle [0~;~2].

Donner un encadrement d'amplitude $0,1$ de la plus grande des solutions.
\item On suppose que $f(x)$ est de la forme $f(x) = ax + \ln (2x + b)$,
où $a$ et $b$ désignent deux nombres réels.
	\begin{enumerate}
		\item En utilisant la valeur trouvée pour $f(0)$, calculer $b$.
		\item Démontrer que $f'(x) = a + \dfrac{2}{2x+1}$.
		
En utilisant la valeur trouvée pour $f'(0)$, calculer $a$.
		\item En déduire l'expression de $f(x)$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

On sait désormais que la fonction $f$ est définie sur [0 ; 2] par:

\[f(x) = - x + \ln (2x + 1).\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que, pour tout $x$ appartenant à [0 ; 2],

\[ f'(x) = \frac{- 2x + 1}{2x + 1}.\]

		\item En déduire le signe de $f'(x)$, puis dresser
le tableau de variation de $f$ sur [0~;~2].
	\end{enumerate}
\item Reproduire le tableau suivant et le compléter par les valeurs
décimales arrondies à $10^{-2}$ près de $f(x)$.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
$x$   &0,5 	&1 	&1,1 	&1,2 	&1,3 	&1,4 	&1,5 	&2  \\ \hline
$f(x)$&     &   &     	&     	&     	&$-0,06$&     	&    \\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
\end{enumerate}
\end{document}