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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat SMS}
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{juin 1995}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat SMS Polynésie juin 1995~\decofourright}}

\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill 8 points}

\medskip

Pour étudier les mécanismes hormonaux de la puberté, on a mesuré
les concentrations de deux hormones : l'œstradiol et l'œstrone, pour un groupe de huit adolescentes.

On désigne par $x_i$, les concentrations en œstradiol (en pg/ml) et par $y_i$, les concentrations en œstrone (en pg/ml).

Les résultats sont consignés dans le tableau suivant :

\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
$x_i$ &7,5 &16,5 &22 	&30 &42 	&57 	&72 &77  \\ \hline
$y_i$ &9   &18,5 &21,5 	&27 &34,5 	&50,5 	&59 &60 \\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Représenter ces résultats en plaçant dans un repère les points
de coordonnées $\left(x_i~;~y_i\right)$ ; 1 cm représentant 5 pg/ml sur chaque axe.
On obtient ainsi un nuage de points.
\item On désigne par $G_1$ le point moyen associé aux points du nuage
ayant les quatre plus petites abscisses et par $G_2$ le point moyen associé aux
quatre autres points.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer les coordonnées de $G_1$ et de $G_2$ puis
tracer la droite $\left(G_1G_2\right)$ sur le dessin précédent.
		\item Montrer qu'une équation de la droite $\left(G_1G_2\right)$ est
$y = 0,744 x + 4,860$, où les coefficients ont été arrondis à $10^{-3}$ près.
		\item En utilisant la droite $\left(G_1G_2\right)$, donner une
estimation de la concentration en œstrone pour une adolescente dont
la concentration en œstradiol serait de 50 pg/ml.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 12 points}

\medskip

On considère la fonction numérique $f$ définie sur l'intervalle $[0,1~;~6]$ par

\[f(x) = x + 2 - 2\ln x.\]

On désigne par $C$ sa courbe représentative dans un repère orthonormal
d'unité 2~cm.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la fonction dérivée $f'$ de $f$.
		\item Montrer que $f'(x)$ a sur l'intervalle $[0,1~;~6]$
le même signe que $(x - 2)$.
		\item En déduire le tableau de variation de $f$ sur
l'intervalle $[0,1~;~6]$ en précisant les valeurs particulières.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Donner les valeurs exactes de $f(1)$ et $f(4)$, puis
la valeur décimale arrondie à $10^{-2}$ près de $f(4)$.
		\item Calculer le coefficient directeur de la tangente
à la courbe $C$ au point de $C$ d'abscisse 1.
		\item Tracer les tangentes à la courbe $C$ aux points
d'abscisses respectives 1 et 2 ; tracer la courbe $C$.
(On rappelle que l'unité graphique est 2~cm).
	\end{enumerate}
\item Soit la droite $D$ d'équation $y = x$.
	\begin{enumerate}
		\item Tracer cette droite dans le repère utilisé précédemment.
		\item Déterminer les coordonnées du point d'intersection
de la courbe $C$ et de la droite $D$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}