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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat SMS}
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{juin 2002}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
{\Large\textbf{ \decofourleft~Baccalauréat SMS   Polynésie  juin 2002~\decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 8 points}

\medskip 

Un laboratoire étudie la croissance d'une souche de bactéries \textsl{Acétobacter}.

Il obtient les résultats suivants :

\begin{center} 
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{4cm}|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Temps $x_i$ (en heures)	&	4& 5	& 6		& 7		&8 	&9 \\ \hline
Nombre $N_i$ de bactéries par unité de volume (en milliers)
						&13,6&21,3	&70,9	&121,5 	&383&590\\ \hline
\end{tabularx} 
\end{center}

Les points de coordonnées $\left(x_i~;~N_i\right)$ ne sont pas alignés.

Le laboratoire décide alors de poser $y_i = \ln \left(N_i\right)$.

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Recopier et compléter le tableau ci-dessous. Donner les valeurs arrondies à $10^{-2}$ près.

\begin{center} 
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{4cm}|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Temps $x_i$ (en heures)			&4		&5		&6		&7		&8	&	9\\ \hline
Nombre $N_i$ de bactéries par 	
unité de volume (en milliers)	&13,6	&21,3	&70,9	&121,5	&383&590\\ \hline
$y_i = \ln\left(N_i\right)$		&2,61 	& 		& 		&4,80 	& 	& \\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\item Représenter le nuage de points de coordonnées $\left(x_i~;~y_i\right)$ ; on prendra pour unités :

2~cm en abscisse pour 1 heure, 2~cm en ordonnée pour 1 unité.

De plus, on graduera l'axe des abscisses à partir de 3. 
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Déterminer les coordonnées du point moyen $G_1$ des
trois premiers points du nuage, puis les coordonnées du point moyen $G_2$ des trois derniers points du nuage.
		\item Placer $G_1$ et  $G_2$ sur le graphique, puis tracer la droite  $\left(G_1G_2\right)$.
		\item Montrer que l'équation réduite de la droite $\left(G_1G_2\right)$ est : $y = 0,8x - 0,69$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Donner une valeur approchée à $10^{_2}$ près de $\ln (100)$. 
		\item À l'aide de cette valeur, déterminer graphiquement le temps nécessaire à l'obtention de \np{100000}~ bactéries par unité de volume (on fera apparaître les
constructions utiles).
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème}\hfill 12 points}

\medskip

Une population atteinte d'une maladie M est soignée à l'aide d'un nouveau médicament.

$x$ désigne le nombre de semaines de traitement. On suppose que $x$ décrit l'intervalle [0~;~10].

La probabilité qu'une personne choisie au hasard dans cette population soit toujours malade après $x$ semaines de traitement est donnée par :

\[p(x) = (0,5x+ 1)\text{e}^{- 0,5x}.\]

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate} 
\item $p'$ désigne la dérivée de $p$ sur [0~;~10]. Calculer $p'(x)$ et montrer que :

\[p'(x) = - 0,25x\text{e}^{-0,5x}.\]

\item Étudier le signe de $p'(x)$ sur [0~;~10] et dresser le tableau de variations de la fonction $p$.
\item Recopier et compléter le tableau suivant en arrondissant les résultats à $10^{-2}$ près.

\begin{center} 
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{11}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$ 	&0  &1	&2	&3	&4	&5	&6		&7	&8	&9	&10\\ \hline
$p(x)$	&	&	&	&	&	&	&0,20	&	&	&	& \\ \hline
\end{tabularx} 
\end{center}

\item Tracer la courbe $\mathcal{C}$ représentative de la fonction $p$ dans un repère orthogonal en prenant pour unités graphiques :

$\bullet~$ 1~cm pour une unité sur l'axe des abscisses ;

$\bullet~$ 10~cm pour une unité sur l'axe des ordonnées.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

On pourra utiliser les résultats de la \textbf{partie A}.

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Peut-on affirmer qu'avant le début du traitement toutes les personnes étaient atteintes de la maladie M ?

Justifier la réponse.
\item Déterminer graphiquement le nombre de semaines de traitement pour que la probabilité pour une personne choisie au hasard d'être encore malade, soit  inférieure ou égale à $\dfrac{1}{4}$ (on fera apparaître les constructions utiles). 
\item Quelle est la probabilité qu'une personne choisie au hasard dans cette 
population ne soit plus malade après trois semaines de traitement ? 
\item La population étudiée comprend mille personnes. Quel est le nombre de  personnes qu'on peut estimer encore atteintes de la maladie M après six semaines de traitement ?
\end{enumerate}
\end{document}