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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat SMS}
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{juin 1997}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat SMS Polynésie juin 1997~\decofourright}}

\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill 8 points}

\medskip

Une classe de terminale SMS réalise, dans le cadre de la semaine de sensibilisation aux dangers du tabac, une enquête auprès de tous les professeurs du lycée.

Cet établissement compte $110$ professeurs, dont 70\,\% sont des femmes.

Parmi tous les professeurs du lycée, $42$ ont déclaré fumer.

Les élèves chargés du dépouillement constatent que $\dfrac{1}{3}$ des fumeurs, sont des femmes.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Compléter le tableau suivant à l'aide des indications données.
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
          & Hommes & Femmes & Total \\ \hline
Fumeurs    &  &  &   \\ \hline
Non-fumeurs&  &  &   \\ \hline
Total      &  &  & 110  \\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\smallskip

\item Les pourcentages demandés seront arrondis à 0,1\%.
	\begin{enumerate}
		\item Quel est le pourcentage des personnes qui fument parmi
tous les professeurs du lycée ?
		\item Quel est le pourcentage d'hommes parmi les fumeurs ?
		\item Quel est le pourcentage de fumeurs parmi les hommes ?
	\end{enumerate}
\item Si on choisit un professeur femme au hasard, tous les professeurs
femmes ont la même probabilité d'être choisie, quelle est la probabilité que
ce soit un professeur qui fume ?
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 12 points}

\medskip

Étude, sur l'intervalle $[0,1~;~3]$, de la fonction $f$ définie par

\[f(x) = (\ln x)^2 + \ln x - 2.\]

\textbf{Partie A}

\bigskip

\begin{enumerate}
\item Reproduire le tableau suivant et le compléter avec les valeurs
décimales arrondies au centième de $f(x)$.
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
\begin{tabularx}{0.85\linewidth}{|c|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
$x$    	&0,1 	&0,25 		&0,5 	&1 	&2 		&3  \\ \hline
$f(x)$  &  		&$-1,46$ 	&   	&   &$-0,83$&   \\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

	\begin{enumerate}
		\item On désigne par $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$.

Montrer que, pour tout $x$ de $[0,1~;~3]$, $f(x) = \dfrac{2 \ln x + 1}{x}$.
		\item Résoudre, sur l'intervalle $[0,1 ; 3]$, l'équation
$f'(x) = 0$.
	\end{enumerate}
\item Voici le tableau de variation de $f$.
\begin{center}
\begin{tabularx}{0.85\linewidth}{|c|l*{3}{>{\centering \arraybackslash}X} r|}
\hline
$x$ 			&0,1 		&  			&$\text{e}^{-0,5}$ 	&  			&3 \\ \hline
Signe de $f'(x)$&  			&  			&0					& 			&  \\ \hline
       			&$f(0,1)$	&       	&  					&       	&$f(3)$\\
Variation de $f$&  			&$\searrow$	&   				&$\nearrow$	&  \\
       			&   		&      		&$m$ 				&         	& \\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
	\begin{enumerate}
		\item Reproduire ce tableau et compléter, en justifiant,
la ligne donnant le signe de $f'(x)$.
		\item Montrer, sans utiliser la calculatrice, que
$m = - \dfrac{9}{4}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

On note $C$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormal
\Oij.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $f(\text{e})$ et $f\left(\text{e}^{-2}\right)$.
		\item En déduire une conséquence graphique.
	\end{enumerate}
\item Soit $B$ le point de $C$, d'abscisse 1.

Rappeler l'ordonnée du point $B$.

Calculer le coefficient directeur de la tangente à $C$ au point $B$.
\item Dans le repère orthonormal \Oij, d'unité graphique 5 cm,
	\begin{enumerate}
		\item tracer la tangente à $C$ au point $B$ ;
		\item tracer la courbe $C$. (Réaliser ce tracé à partir
des points de $C$ dont les coordonnées ont été obtenues depuis le début de l'exercice).
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}