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%tapuscrit : Denis Vergès 
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat SMS}
\lfoot{\small Polynésie}
\rfoot{\small juin 1999}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat SMS Polynésie  juin 1999~\decofourright}}

L'usage des calculatrices et des instruments de calcul est autorisé.
\end{center}

\bigskip

\textbf{Exercice \hfill 8 points}

\medskip

Dans une entreprise pharmaceutique de dimension européenne, une étude
statistique a montré que sur \np{10000}~clients de la communauté européenne, $82\,\%$ sont français.

On sait aussi que $4\,\%$ des clients français et $10\,\%$ des clients étrangers ont eu un incident de paiement dans l'année.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Compléter, après l'avoir reproduit, le tableau suivant où les
pourcentages ci-dessus sont respectés.

\medskip
\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{4.5cm}|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}c|} \cline{2-4}
\multicolumn{1}{c|}{}&Nombre de clients français
     &Nombre de clients étrangers & TOTAL \\ \hline
Nombre de clients ayant  eu un incident de paiement 	&  &  &  \\ \hline
Nombre de clients n'ayant pas eu d'incident de paiement &  &  &  \\ \hline
TOTAL                                                	&  &  & \np{10000} \\ \hline
\end{tabularx}
\medskip

\item On choisit un client au hasard parmi les \np{10000}.

On est en situation d'équiprobabilité.

On considère les évènements suivants :

$F$ : \og Le client choisi est français \fg.

$I$ : \og Le client choisi a eu un incident de paiement \fg.

	\begin{enumerate}
		\item  Définir par une phrase les évènements $\overline{F}$,
$\overline{I}$ et $\overline{F}\cup\overline{I}$.
		\item  Calculer les probabilités des évènements suivants :
$F$, $\overline{F}$, $F\cap I$, $F\cup I$.
		\item  Calculer la probabilité de l'évènement :

\og Le client choisi est un étranger qui n'a pas eu d'incident de paiement \fg.
	\end{enumerate}
\item On choisit un client au hasard parmi ceux ayant eu un incident de paiement.

Déterminer à $10^{-2}$ près par défaut la probabilité que le client soit français.
\end{enumerate}

\vspace{1cm}

\textbf{Problème \hfill 12 points}

\bigskip

\textbf{Partie A : Étude d'une fonction}

\medskip

On considère la fonction numérique $f$ définie sur l'intervalle
I = [0~;~4] par :

\[ f(x) = \dfrac{1}{2} x + \text{e}^{\left(-\frac{1}{2} x + \frac12 
\right)},\]

et sa courbe représentative $C$ dans un repère orthonormal 
\Oij{} d'unité graphique 5~cm.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Déterminer la fonction dérivée $f'$ de la fonction $f$.
		\item  Résoudre sur l'intervalle I l'inéquation :
		
\[ \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{2} e^{\left(-\frac{1}{2} x + \frac12 
\right)}\geqslant 0.\]

En déduire le signe de $f'(x)$ sur I.
		\item  Établir le tableau de variations de la fonction $f$.
	\end{enumerate}
\item Reproduire et compléter le tableau de valeurs suivant (valeur
décimale approchée à $10^{-2}$ près par défaut).

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
$x$ 	&0 	&1 	&2 		&3 	&4 \\ \hline
$f(x)$ 	&  	&  	&1,60 	&  	&  \\ \hline
\end{tabularx}
\medskip

\item Tracer la courbe $C$ dans le repère \Oij.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Partie B : Application}

\medskip

On admet que le fonction $f$ de la \textbf{partie A} représente le prix
de revient des composants électroniques fabriqués par l'entreprise 
RAMSA : $x$ étant le nombre de centaines de composants électroniques
fabriqués, leur prix de revient, en milliers de francs, est exprimé 
par $f(x)$.

D'autre part on désigne par $p(x)$, en milliers de francs, le prix
de vente de ces composants électroniques. Un composant étant 
vendu 6~F pièce, on a donc :
\[p(x) = 0,6x.\]

\begin{enumerate}
\item  Tracer sur le graphique de la \textbf{partie A} la droite $D$
 représentant la fonction $p$.
\item  On appelle $H$ le point d'intersection de la droite $D$ et de
la courbe $C$. À partir du graphique, déterminer un encadrement
à $10^{-1}$ près de l'abscisse $x_H$ du point $H$.
\item  On appelle $g(x)$ la différence entre le prix de vente des
composants et leur prix de revient (en milliers de francs).

Justifier que la solution de l'équation $g(x) = 0$ est l'abscisse
du point $H$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Vérifier que
		
\[g(x) = 0, 1 x - \text{e}^{\left(-\frac{1}{2} x + \frac12 \right)}.\]

		\item  Donner les valeurs approchées à $10^{-4}$ près
par défaut de $g(3,24)$ et $g(3,25)$.
		\item  En déduire la quantité minimale de composants
électroniques qui doit être vendue pour que l'entreprise fasse des bénéfices, c'est-à-dire pour que $g(x)$ soit positif.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}