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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat SMS}
\lfoot{\small{Polynésie }}
\rfoot{\small{juin 2004}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\vspace{0,5cm}
\begin{center}

{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat SMS Polynésie juin 2004~\decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1 }\hfill 8 points}

\medskip

Dans le cas de certaines maladies, les vétérinaires calculent la posologie des médicaments en fonction de l'aire de la surface corporelle de l'animal. Le tableau suivant donne, chez les chiens, l'aire de la surface corporelle en mètres carrés en fonction du poids en kilogrammes.

\begin{center} 
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2cm}|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Poids $x_i$ en kg	&4 		&8  	&12 	&16 	&20 	&24 	&28 	&30 	&32 	&36 \\ \hline
Aire $y_i$ en m		&0,25 	&0,40 	&0,50 	&0,64 	&0,74 	&0,84 	&0,93	&0,98 	&1,02	&1,10\\ \hline
\end{tabularx} 
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Représenter, dans un repère orthogonal, le nuage de points de coordonnées $\left(x_i~;~y_i\right)$ associé à cette série statistique ; on prendra pour  unités graphiques : 1~cm pour 2~kg sur l'axe des abscisses et 10 cm pour 1  m$^2$ sur l'axe des ordonnées.
\item Déterminer les coordonnées du point moyen G du nuage et placer le point G  sur le graphique.
\item Soit ($D$) la droite d'équation $y = 0,026x + 0,194$.
	\begin{enumerate} 
		\item Construire ($D$) sur le graphique précédent.
		\item Vérifier par le calcul que G appartient à ($D$).
	\end{enumerate}
\item On admet que la droite ($D$) constitue un bon ajustement affine du nuage de points.
	\begin{enumerate}
		 \item Calculer l'aire de la surface corporelle d'un chien de 18~kg. Arrondir le résultat à $10^{-2}$ près.
		\item Déterminer par le calcul un encadrement de l'aire de la surface corporelle d'un chien dont le poids est compris entre 25 et 30~kg.
		\item Retrouver graphiquement les résultats des deux questions précédentes. Faire apparaître les tracés de construction utiles. 
 	\end{enumerate} 
 \end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème }\hfill 12 points}

\medskip

\textbf{Partie A : étude d'une fonction}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle [0~;~4] par 

\[f(t) = 2\text{e}^{0,7t}.\]

\smallskip

\begin{enumerate}
 \item 
 	\begin{enumerate} 
		\item Calculer $f'(t)$ où $f'$ désigne la fonction dérivée de la fonction $f$ sur l'intervalle [0~;~4].
		\item Déterminer le signe de $f'$ sur l'intervalle [0~;~4].
		\item Dresser le tableau de variations complet de la fonction $f$ en précisant les valeurs exactes de $f(0)$ et $f(4)$.
	\end{enumerate}
\item Recopier et compléter le tableau suivant en arrondissant les valeurs à $10^{-1}$ près.

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{10}{>{\centering \arraybackslash} X|}}\hline
$t$ 	&0 	&0,5&1 	&1,5&2 	&2,5&3 		&3,5 	& 4\\ \hline
$f(t)$ 	& 	& 	& 	& 	& 	& 	&16,3 	&23,2	&  \\ \hline
\end{tabularx}
\medskip

\item Tracer la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthogonal d'unités graphiques 2~cm pour 1~unité sur l'axe des abscisses et 1~cm pour 2~unités sur l'axe des ordonnées.
 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B : prolifération de bactéries}

\medskip

On étudie une culture de bactéries en milieu liquide agité. $f$ étant la fonction étudiée dans la \textbf{partie A} on considère que $f(t)$ donne le nombre de milliers de bactéries à l'instant $t (t$ est exprimé en heures). 

On admet que $f'(t)$ est alors la vitesse de prolifération des bactéries à l'instant $t$ ;  cette vitesse est exprimée en nombre de milliers de bactéries par heure.

\begin{enumerate} 
\item Donner le nombre de milliers de bactéries à l'instant $t = 0$.
\item Par lecture graphique, en faisant apparaître les constructions utiles, déterminer :
	\begin{enumerate} 
		\item le nombre de milliers de bactéries au bout de 2 heures 15~minutes
		\item le temps en heures et minutes au bout duquel il y a au moins 16~milliers de bactéries.
	\end{enumerate}
\item Calculer et arrondir à $10^{-1}$ près :
	\begin{enumerate} 
		\item le nombre de milliers de bactéries au bout de 15~minutes
		\item la vitesse de prolifération au bout de 2~heures.
	\end{enumerate}
\item Déterminer par le calcul au bout de combien de temps, exprimé en heures et arrondi à $10^{-1}$ près, le nombre initial de bactéries aura été multiplié par dix. 
\end{enumerate}
\end{document}