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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat SMS}
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{Septembre 1999}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}\Large{\textbf{\decofourleft~Baccalauréat SMS  Polynésie septembre 1999~\decofourright}}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\emph{\footnotesize
L'usage des calculatrices et des instruments de calcul est autorisé.}}
\end{center}

\textbf{\textsc{Exercice} \hfill 10 points}

\medskip
 
Lors de travaux pratiques de chimie, on décide d'étudier le pH de mélanges d'acide et de base conjugués : l'acide acétique et l'acétate de sodium.
 
Voici le déroulement de l'expérience : on prépare différents mélanges d'une solution d'acide acétique avec une solution d'acétate de sodium.
 
On appelle V$_{\text{A}}$ le volume d'acide acétique et V$_{\text{S}}$ le volume d'acétate de sodium mélangés. On mesure le pH de chaque mélange obtenu et on peut ainsi établir le tableau de valeurs suivants :

\medskip

\renewcommand\arraystretch{2}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
$x_{i} =  \ln \left(\dfrac{\text{V}_{\text{S}}}{\text{V}_{\text{A}}}\right)$& $-2,30$& $-1,84$& $-1,38$& $-0,92$& $0$\\ \hline 
$y_{i} = \text{pH}$& 3,70& 3,90& 4,10& 4,29& 4,70 \\ \hline
$x_{i} =  \ln \left(\dfrac{\text{V}_{\text{S}}}{\text{V}_{\text{A}}}\right)$&0,69& 1,15& 1,61& 2,07& 2,30  \\ \hline  
$y_{i} = \text{pH}$& 4,99& 5,19& 5,40& 5,60& 5,71 \\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

Le but de cette expérience est de mettre en évidence une relation entre le pH de la solution et le nombre $\ln \left(\dfrac{\text{V}_{\text{S}}}{\text{V}_{\text{A}}}\right)$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item  Placer les points $M_{i}$ de coordonnées $\left(x_{i}~;~y_{i}\right)$ dans un repère orthonormal 

\Oij, d'unité graphique 4~cm.
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Calculer les coordonnées du point G$_{1}$  point moyen des cinq premiers points et de G$_{2}$ point moyen des cinq derniers. 
		\item Placer les points G$_{1}$ et G$_{2}$ sur votre graphique. Tracer la droite (G$_{1}$G$_{2}$). 
		\item Déterminer l'équation de la droite (G$_{1}$G$_{2}$) de la forme $y = mx + p$, où met $p$ seront déterminés à $10^{-2}$ près par défaut. 
 	\end{enumerate}
\item On admet que la droite (G$_{1}$G$_{2}$) constitue un ajustement affine satisfaisant du nuage de point $M_{i}$. 
	\begin{enumerate}
		\item  Déterminer par le calcul le pH de la solution lorsque $\ln \left(\dfrac{\text{V}_{\text{S}}}{\text{V}_{\text{A}}}\right) = - 0,5$. 
 
		\item  Retrouver graphiquement ce résultat en faisant apparaître les constructions utiles, et en expliquant les démarches.
	\end{enumerate}
\item Calculer, à $10^{-2}$ près par défaut, le rapport de volumes $\left(\dfrac{\text{V}_{\text{S}}}{\text{V}_{\text{A}}}\right)$ du mélange si le pH est de 5,5. 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice} \hfill 10 points}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip
 
Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $[2~;~14]$ par 

\[f(t) = 1,3\text{e}^{-0,3t}.\]
 
On notera $\mathcal{C}_{f}$ sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère orthogonal \Oij d'unités graphiques :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] 1~cm pour 1 unité sur l'axe des abscisses ; 
\item[$\bullet~$] 20~cm pour 1 unité sur l'axe des ordonnées.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item On note $f'$ la dérivée de $f$. Calculer $f'(t)$. 
\item Étudier le signe de $f'(t)$ ; en déduire les variations de $f$. 
\item Résoudre sur l'intervalle $[2~;~14]$ l'équation : $f(t) = \dfrac{1}{2}f(2)$. 
\item Reproduire et compléter le tableau de valeurs suivant (on valeurs décimales approchées à $10^{- 2}$ près par défaut).

\medskip
\begin{center}
\begin{tabularx}{0.7\linewidth}{|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$t$		&2	&4	&6	&8	&10	&12	&14  \\ \hline
$f(t)$	&	&	&	&	&	&	&  \\ \hline
\end{tabularx} 
\end{center}
\item Tracer la courbe $\mathcal{C}_{f}$
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip
 
Une personne dont les rappels antitétaniques ne sont pas à jour se blesse sur une clôture rouillée. Le médecin procède alors à l'injection d'un sérum antitétanique suivi de l'injection d'un vaccin antitétanique.
 
À partir du 2\up{e} jour suivant l'injection, et cela jusqu'au 4\up{e} jour, on mesure le taux des antitoxines sériques présentes dans le plasma de la personne. On admet que ce taux est donné, en fonction du nombre de jours, par la fonction étudiée  dans la partie A.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item  En utilisant le graphique, donner le taux des antitoxines présentes dans le  plasma le 7\up{e} jour.
\item  On veut déterminer au bout de combien de jours le taux mesuré est inférieur  à la moitié de celui mesuré le 2\up{e} jour. 
	\begin{enumerate}
		\item  Donner une réponse en utilisant une méthode graphique (faire figurer sur le  graphique les constructions utiles).
		\item Expliquer le résultat précédent à l'aide d'un calcul fait dans la partie A.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}
\end{document}