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%tapuscrit : Denis Vergès 
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat SMS}
\lfoot{\small{Polynésie }}
\rfoot{\small{septembre 2008}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat SMS Polynésie  septembre 2008~\decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice}\hfill 8 points}

\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiple.}

Pour chaque question, trois réponses sont proposées. Une seule des réponses proposées est correcte.

\medskip
 
\emph{Chaque bonne réponse rapporte $1$ point Chaque réponse fausse retire $0,5$~point. Une question sans réponse ne rapporte ni n'enlève aucun point. Si le total des points est négatif la note attribuée à l'exercice est ramenée à $0$.}

\begin{center}
Aucune justification n'est demandée.
\end{center}
Recopier et compléter le tableau ci-dessous en inscrivant pour chaque question la lettre a, b ou c correspondant à la réponse que vous pensez être correcte.
 
\medskip
 
\renewcommand{\arraystretch}{1.4}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Question	&1	&2	&3	&4	&5A	&5B	&5C&5D\\ \hline
Réponse	&	&	&	&	&	&	&&\\ \hline
\end{tabularx}
 
\medskip

\begin{enumerate}
\item  Les solutions de l'inéquation $3x + 2 \geqslant  9x -16$ sont :
	\begin{enumerate}
		\item tous les nombres supérieurs ou égaux à 3
		\item tous les nombres inférieurs ou égaux à 3
		\item tous les nombres inférieurs ou égaux à $- 3$
	\end{enumerate}
\item  Dans une classe de 36 élèves, 32 sont allés à l'étranger, dont 16 en Angleterre, 18 en Espagne et 4 dans ces deux pays. On choisit au hasard un élève de cette classe. La probabilité pour qu'il soit allé seulement en Angleterre est :

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
\textbf{a.~~}$\dfrac{1}{3}$&\textbf{b.~~}$\dfrac{7}{18}$&\textbf{c.~~}$\dfrac{4}{9}$\\
\end{tabularx}

\item  Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle [1~;~10] par $f(x) = \dfrac{4}{2x - 1}$. La fonction	 dérivée $f'$ est définie par :

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
\textbf{a.~~}$f'(x) = \dfrac{3}{2}$&\textbf{b.~~}$f'(x) = \dfrac{12x + 5}{(2x - 1)^2}$&\textbf{c.~~}$f'(x) = \dfrac{-8}{(2x - 1)^2}$\\
 \end{tabularx}

\item  Le nombre A $= \dfrac{3\times 10^6 - 0,25 \times 10^5}{0,25}$ s'écrit sous la forme :

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
\textbf{a.~~}$2,9 \times 10^6$&\textbf{b.~~}$1,19 \times 10^7$&\textbf{c.~~}$2,9^6$\\
 \end{tabularx}

\item   Soit $f$ une fonction définie sur l'intervalle $[-3~;~5]$, dont on donne la courbe représentative ci-dessous. Répondre aux questions A, B, C et D.
\end{enumerate}
 
\medskip
 
\begin{center}\psset{unit=0.75cm}
\begin{pspicture}(-6,-6)(9,6)
\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=1,griddots=10,gridcolor=orange,gridwidth=1pt](0,0)(-6,-6)(9,6)
\psaxes[linewidth=1pt,Dx=10,Dy=10](0,0)(-6,-6)(9,6)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(1,1)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-3}{6}{x 3 exp 10 div x dup mul 3 mul 10 div sub 18 x mul 10 div sub 4 add}
\uput[ur](1,0){I}\uput[ul](0,1){J}\uput[dl](0,0){O}
\uput[u](8.8,0){$x$}\uput[r](0,5.8){$y$}
\end{pspicture}
\end{center}
 
 \medskip
 
\textbf{A.} Sur l'intervalle [0~;~2], la fonction est :

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
\textbf{a.~~}négative&\textbf{b.~~}croissante&\textbf{c.~~}décroissante
\end{tabularx} 

\textbf{B.} L'inéquation $f(x) \leqslant  0$ a pour ensemble de solutions :

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
\textbf{a.~~}[2~;~5]&\textbf{b.~~}$[-1,6~;~3,6]$&\textbf{c.~~}$[-3~;~0]$
\end{tabularx} 
 
\textbf{C.} L'équation $f(x) = 0$ a :

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
\textbf{a.~~}une solution&\textbf{b.~~}deux solutions &\textbf{c.~~}trois solutions
\end{tabularx}
 
\textbf{D.}  Le nombre dérivé $f'(0)$ est :

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
\textbf{a.~~}positif&\textbf{b.~~}négatif&\textbf{c.~~}égal à zéro
\end{tabularx}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème}\hfill 12 points}

\medskip

\textbf{Partie A - Étude d'une fonction}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle [0 ~;~ 10] par :

\[f(x) = x\text{e}^{-0,25x} + 2.\]

On appelle $\mathcal{C}$ sa courbe représentative.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Calculer $f'(x)$ où $f'$ désigne la fonction dérivée de la fonction $f$ et vérifier que :

\[f'(x) = \text{e}^{-0,25x}(1 -  0,25x).\]

\smallskip

\item Résoudre l'équation $f'(x) = 0$ et étudier le signe de $f'(x)$ sur l'intervalle [0~;~10].
\item  En déduire le tableau de variations de la fonction $f$ sur l'intervalle [0~;~10] (\emph{les valeurs figurant dans ce tableau seront données sous forme exacte}).
\item  Reproduire et compléter le tableau de valeurs suivant (\emph{on donnera des valeurs arrondies à $10^{-2}$ près})

\medskip

\renewcommand{\arraystretch}{1.4}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{12}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$		&0	& 1		&2	&3		&4	&5	&6		&7	&8	&9	&10\\ \hline
$f(x)$	&	&2,78	&	&3,42	&	&	&3,34	&	&	&	&2,82\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\item Sur une feuille de papier millimétré, construire la courbe 
$\mathcal{C}$ dans un repère orthogonal :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] sur l'axe des abscisses, 1~cm représente une unité,
\item[$\bullet~$] sur l'axe des ordonnées, 10~cm représentent une unité et on graduera à partir de 2.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B - Application}

\medskip

\emph{Dans cette partie, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}

\medskip

Dans un hôpital, les dépenses de téléphone par année sont données dans le tableau ci-dessous pour six années consécutives.

On désigne par $x_{i}$ le rang de l'année et par $y_{i}$ le montant  des dépenses  de téléphone en milliers d'euros pour l'année de rang
$x_{i}$.

\medskip

\renewcommand{\arraystretch}{1.4}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Année	&2001	&2002	&2003	&2004	&2005	&2006\\ \hline
$x_{i}$	&0		&1		&2		&3		&4		&5\\ \hline
$y_{i}$	&2,1	&2,75	&3,25	&3,38	&3,5	&3,4\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Représenter le nuage de points $M_{i}\left(x_{i}~;~y_{i}\right)$ dans le repère précédent.

\item L'observation du graphique précédent nous permet d'admettre qu'une bonne estimation du montant en milliers d'euros des dépenses de téléphone pour l'année de rang $x$ est donnée par la valeur de $f(x)$ où $f$ est la fonction étudiée dans la partie A.
	\begin{enumerate}
		\item  Estimer par un calcul le montant des dépenses de téléphone en 2008.
		\item  Estimer, par une méthode graphique, à partir de quelle année la dépense redeviendra inférieure à \np{3000}~euros (\emph{on fera figurer les tracés utiles sur le graphique.})
  	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}