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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat SMS}
\lfoot{\small{La Réunion}}
\rfoot{juin 2002}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
{\Large\textbf{ \decofourleft~Baccalauréat   SMS La Réunion  juin 2002~\decofourright}}


\vspace{0,25cm}

\textbf{Calculatrice autorisée}\end{center}
    
\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice} \hfill 8 points}

\medskip

À partir des résultats du recensement de 1990, on a établi les résultats suivants concernant les personnes vivant seules en France en 1990  :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] les hommes de 25-29 ans représentent 9\,\% de ces personnes ;
\item[$\bullet~$] les hommes de 30-39 ans représentent 8\,\% de ces personnes ;
\item[$\bullet~$] 61\,\% de ces personnes sont des femmes ;
\item[$\bullet~$] 48\,\% de ces personnes sont âgées de plus de 60 ans et parmi celles-ci, les femmes sont trois fois plus nombreuses que les hommes ;
\item[$\bullet~$] il y a autant d'hommes que de femmes dans les tranches d'âges 40--60 ans et 25--29 ans parmi toutes ces personnes.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\emph{Dans les questions $2$  et $3$,  on donnera les résultats sous
 forme décimale à $0,01$  près}.

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Recopier et compléter le tableau ci-dessous donnant, en 
pourcentage, la répartition des personnes seules, en France en 1990, selon le sexe et l'âge

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{| *{4}{ >{\centering \arraybackslash}X |}} \hline
 			& Hommes 	& Femmes 	& Total\\ \hline
25--29 ans 	&			&			& \\ \hline
30--39 ans 	&8 			& 			& \\ \hline
40--60 ans 	&			&			& \\ \hline
60 et plus 	&			&			& \\ \hline
Total 		& 			&61 		&100 \\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\item On choisit, au hasard, une personne parmi les personnes qui, en 1990, vivent seules en France,
	\begin{enumerate} 
		\item Calculer la probabilité de chacun des évènements suivants : 

$A$ : \og la personne est un homme \fg{} ;

$B$ : \og la personne est âgée de plus de 60 ans \fg{} ;

$C$ : \og la personne est une personne de plus de 60 ans ou un homme \fg{}.
		\item Définir par une phrase les évènements $\overline{B}$ et $A \cap~\overline{B}$ puis calculer la probabilité de chacun de ces deux évènements.
	\end{enumerate}
\item On choisit, au hasard, une femme parmi les femmes vivant seules en France en 1990. Quelle est la probabilité $p$ qu'elle soit âgée de plus de 60 ans ? 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 12 points}

\begin{center} \textbf{Partie A} \end{center}

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle [0~;~4] par :

\[f(t) = 2 + 2,75t\text{e}^{1 - t}\]

et on appelle $\mathcal{C}$ sa courbe représentative.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer la dérivée $f'(t)$ et vérifier que

\[f'(t) = 2,75(1 -t)\text{e}^{1 - t}.\]

\item Résoudre l'équation $f(t) = 0$ ; étudier le signe de 
$f(t)$ sur l'intervalle [0~;~4].
\item Donner le tableau de variation de $f$.
\item Déterminer le coefficient directeur de la tangente T à la
 courbe $\mathcal{C}$, au point d'abscisse 0.
\item Reproduire et compléter le tableau de valeurs suivant (on donnera des valeurs approchées à $10^{-2}$ près :

\[ \begin{tabularx}{\linewidth}{| *{8}{>{\centering \arraybackslash} X|}} \hline
$t$ 	&0 	&0,5 & 1 	&1,5 	&2 	&3 		&4\\ \hline
$f(t)$	& 	&4,27& 		& 		& 	&3,12	&2,55\\ \hline
\end{tabularx}\]

\item Sur une feuille de papier millimétré construire la tangente T et la courbe $\mathcal{C}$, en prenant 3~cm pour 1 unité sur l'axe des abscisses 2~cm pour 1 unité sur  l'axe des ordonnées.

\end{enumerate}

\begin{center} \textbf{Partie B} \end{center}

Pour vérifier le fonctionnement de la régulation de la glycémie chez un individu, on lui injecte une quantité importante de glucose : on mesure ensuite la concentration d'insuline plasmatique. On 
constate que la concentration d'insuline plasmatique (unité non précisée) en fonction du temps $t$ (exprimé en heures), est donnée par la fonction $f$ étudiée dans la \textbf{partie A}.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer la concentration d'insuline au bout de trois quarts d'heure (on donnera une valeur approchée à $10^{- 2}$ près).
\item Au bout de combien de temps la concentration d'insuline est-elle maximale ?
\item Déterminer graphiquement au bout de combien de temps la concentration
d'insuline a doublé (indiquer sur le dessin de la \textbf{partie A} les traits de construction utiles et exprimer le résultat en heures et minutes).
\item Déterminer graphiquement durant combien de temps la concentration d'insuline  reste supérieure ou égale à 4 (indiquer sur le dessin de la \textbf{partie A} les traits de construction utiles et exprimer le résultat en heures et minutes).
\end{enumerate}
\end{document}