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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat SMS}
\lfoot{\small Métropole}
\rfoot{\small juin 1999}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center} {\Large \textbf{ \decofourleft~Baccalauréat SMS Métropole  juin 1999~\decofourright}}

L'usage des calculatrices et des instruments de calcul est autorisé.
\end{center}

\vspace{1cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 8 points}

\medskip

L'association sportive du lycée Mozart ne propose que deux sports : le hand-ball et le basket-ball.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Recopier et compléter le tableau ci-dessous, sachant que :

$\bullet$ Le nombre total d'élèves inscrits est $200$.

$\bullet$ Il y a autant d'élèves dans chaque sport.
 
$\bullet$ L'association sportive comporte 45\,\% de garçons.

$\bullet$ Parmi les basketteurs, il y a autant de filles que
  de garçons.

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|l|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
        &  Hand-ball & Basket-ball & Total \\ \hline
Garçons &            &             &       \\ \hline
Filles  &            &             &       \\ \hline
Total   &            &             &200  \\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\item On choisit au hasard un élève inscrit  l'association sportive.
On suppose que tous les élèves inscrits ont la même probabilité d'être  choisis. 

Dans cette question, les résultats seront donnés sous forme de fractions
  irréductibles.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la probabilité pour que cet élève pratique
  le basket-ball.
		\item Calculer la probabilité pour que cet élève soit une fille.
		\item Calculer la probabilité pour que cet élève soit
  une fille et qu'elle pratique le basket-ball.
		\item Calculer la probabilité pour que cet élève soit
  une fille ou pratique le basket-ball.
	\end{enumerate}  
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Problème \hfill 12 points}

\bigskip

\textbf{Partie A : étude d'une fonction}

Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle I = [0 ; 45] par :

\[f(t) = 45 t^2 - t^3. \]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que :   $f'(t) = 3 t (30 - t)$.
		\item Reproduire et compléter le tableau de signes suivant :

\begin{center}
\begin{tabular}{|r|l m{3cm} r|}\hline
$t$     		& 0 &    & 45 \\ \hline
$3t$     		&   &    &    \\ \hline
$30 - t$     	&   &    &    \\ \hline
$3t(30 - t)$ 	&   &    &    \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}

		\item Donner le tableau de variation de $f$ sur l'intervalle
I.
	\end{enumerate}
\item Reproduire et compléter le tableau de valeurs ci-dessous :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
$t$  	& 0 & 10 & 20 		&25  & 30 & 35  		& 40 & 45  \\ \hline
$f(t)$	&   &    &\np{10000}&    &    &\np{12250}	&    &     \\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\item Le plan est muni d'un repère orthogonal ; pour le graphique,
on prendra : 

- 2 cm en abscisses pour 10 unités ;

- 1 cm en ordonnées pour \np{1000} unités.

Tracer la courbe représentative de la fonction $f$,  en utilisant le tableau
de valeurs de la question précédente. 

Tracer sur le dessin les tangentes aux points d'abscisses $t = 0$ et $t = 30$.
\end{enumerate}

\vspace{0,6cm}

\textbf{Partie B : Application}

À la suite d'une épidémie dans une région, on a constaté que le nombre 
de personnes malades $t$ jours après l'apparition des premiers cas est donné par :

\[f(t) = 45 t^2 - t^3,~ \mbox{pour }t \mbox{ appartenant  l'intervalle }
[0~;~45].\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item En utilisant la partie A, déterminer le jour où le nombre de
personnes malades est maximal durant cette période de 45 jours et préciser
le nombre de personnes malades ce jour-là.
\item Déterminer graphiquement la période pendant laquelle le nombre
de personnes malades est supérieur ou égal à \np{10000} (faire apparaître sur le dessin les traits de construction utiles).
\end{enumerate}
\end{document}
