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%% Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lhead{\small Baccalauréat Sciences et technologies de l'industrie et du développement durable\\Sciences et technologies de laboratoire\\ sciences physiques et chimiques de laboratoire}
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{7 juin 2013}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat  Polynésie 7 juin 2013~\decofourright\\STI2D--STL--SPCL}}
 \end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill  4 points}

\medskip
 
\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM).\\
Pour chaque question, une seule des quatre réponses proposées est exacte.\\ 
Le candidat indiquera sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.\\ 
Il sera attribué un point si la réponse est exacte.\\ 
Aucun point ne sera enlevé en cas de réponse incorrecte ou d'absence de réponse.}
 
\bigskip

On considère le nombre complexe $z = 2\text{e}^{- \text{i}\frac{\pi}{4}}$ où i est le nombre complexe de module 1 et  
d'argument $\dfrac{\pi}{2}$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Le carré de $z$ est égal à :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} 
\textbf{a.~~} $- 4 \text{i}$& 
\textbf{b.~~} $- 4$& 
\textbf{c.~~} $-2\text{i}$& 
\textbf{d.~~} $4$\\
\end{tabularx}
\medskip
 
\item L'inverse de $z$ est égal à : 

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} 
\textbf{a.~~} $\dfrac{1}{2}\text{e}^{- \text{i}\frac{\pi}{4}}$& 
\textbf{b.~~} $- 2\text{e}^{- \text{i}\frac{\pi}{4}}$& 
\textbf{c.~~} $2\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{4}}$& 
\textbf{d.~~} $\dfrac{1}{2}\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{4}}$\\
\end{tabularx}
\medskip 
 
\item L'équation différentielle $y''+ 4 y = 0$ admet pour solution la fonction $f$ définie, pour tout réel $x$, par : 

\renewcommand\arraystretch{1.8}
\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}} 
\textbf{a.~~} $f(x) = 2 \sin \left(x + \dfrac{\pi}{2}\right)$&
\textbf{b.~~} $f(x) = 5\sin \left(2x + \dfrac{\pi}{3}\right)$\\
\textbf{c.~~} $f(x) = 4 \sin \left( x + \dfrac{\pi}{4}\right)$& 
\textbf{d.~~} $f(x) = \sin \left(4x + \dfrac{\pi}{2}\right)$\\
\end{tabularx}
\medskip
\renewcommand\arraystretch{1}
 
\item On observe la durée de fonctionnement, exprimée en années, d'un appareil électroménager jusqu'à ce que survienne la première panne.
 
Cette durée de fonctionnement est modélisée par une variable aléatoire $X$ suivant la loi exponentielle de paramètre $\lambda = 0,2$.
 
La probabilité que le moteur fonctionne sans panne pendant plus de 8~ans est au centième près :
 
\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} 
\textbf{a.~~} $0, 18$&\textbf{b.~~} $0,20$&\textbf{c.~~} $0,71$&\textbf{d.~~} $0,80\\
\end{tabularx}
\medskip 

\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill  5 points}

\medskip
 
On considère la suite numérique $\left(u_{n}\right)$ définie par : 

\[u_{0} = 8\quad  \text{et, pour tout entier naturel }\:n,\:\: u_{n+1} = 0,4 u_{n} + 3.\]
 
\begin{enumerate}
\item Calculer $u_{1}$ et $u_{2}$.
 
On utilise un tableur pour calculer les premiers termes de cette suite.
 
Une copie d'écran sur laquelle les termes $u_{1}$ et $u_{2}$ ont été effacés est donnée en annexe 1. 
\item Quelle formule a-t-on pu saisir dans la cellule B3 de la feuille de calcul afin d'obtenir les premiers termes de cette suite par recopie vers le bas ? 
\item En utilisant cette copie d'écran, que peut-on conjecturer sur la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$ ? 
\item On considère l'algorithme suivant :

\begin{center}
\begin{tabular}{|l l|}\hline
\multicolumn{2}{|l|}{Les variables sont l'entier naturel N et le réel U.}\\ Initialisation :& Affecter à N la valeur $0$\\ 
&Affecter à U la valeur 8\\ 
Traitement :& 	TANT QUE $\text{U} - 5 > 0,01$\\
& Affecter à N la valeur N + 1\\
& Affecter à U la valeur $0,4\text{U} + 3$\\
& Fin TANT QUE\\ 
 Sortie :& Afficher N\\ \hline
 \end{tabular}
 \end{center}
 
Par rapport à la suite $\left(u_{n}\right)$, quelle est la signification de l'entier N affiché ? 
\item On considère la suite $\left(v_{n}\right)$ définie pour tout entier naturel $n$, par $v_{n} = u_{n} - 5$. On admet que la suite $\left(v_{n}\right)$ est géométrique de premier terme $v_{0} = 3$ et de raison $0,4$.
	\begin{enumerate}
		\item Exprimer $v_{n}$ en fonction de $n$. 
		\item Déterminer la limite de la suite $\left(v_{n}\right)$. 
		\item Le résultat précédent permet-il de valider la conjecture faite à la question 3 ?
		 
Pourquoi ?
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill  4 points}

\medskip 
La grand-mère de Théo sort un gratin du four, le plat étant alors à 100~\degres C. Elle conseille à son petit-fils de ne pas le toucher afin de ne pas se brûler, et de laisser le plat se refroidir dans la cuisine dont la température ambiante est supposée constante à 20~\degres C.
 
Théo lui rétorque que quand il sera à 37~\degres C il pourra le toucher sans risque ; et sa grand-mère lui répond qu'il lui faudra attendre 30 minutes pour cela.
 
La température du plat est donnée par une fonction $g$ du temps $t$, exprimé en minutes, qui est solution de l'équation différentielle : 

\[(E)\quad  y' + 0,04y = 0,8.\]
 
\begin{enumerate}
\item Résoudre l'équation différentielle $(E)$ et donner sa solution particulière $g$ définie par la condition initiale $g(0) = 100$. 
\item En utilisant l'expression de $g(t)$ trouvée : 
	\begin{enumerate}
		\item La grand-mère de Théo a-t-elle bien évalué le temps nécessaire pour atteindre 37\degres C ? 
		\item Quelle est la valeur exacte du temps nécessaire pour obtenir cette température ?
		 
En donner une valeur arrondie à la seconde près.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill  7 points}

\medskip 

\textbf{Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées de manière indépendante.\\ Les résultats seront arrondis, si nécessaire, à \boldmath $10^{- 3}$ \unboldmath près.}

\medskip
 
Une entreprise produit en grande quantité des pièces détachées destinées à l'industrie.
 
L'objectif de cet exercice est d'étudier l'exploitation de divers outils mathématiques pour analyser la qualité de cette production.

\bigskip
 
\textbf{A. Loi normale}

\medskip
 
Une pièce est conforme lorsque sa longueur, exprimée en millimètres, appartient à l'intervalle [74,4~;~75,6].
 
On note $L$ la variable aléatoire qui, à chaque pièce prélevée au hasard dans la production, associe sa longueur. On suppose que la variable aléatoire $L$ suit la loi normale d'espérance $75$ et d'écart type $0,25$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Calculer $P(74,4 \leqslant L \leqslant 75,6)$. 
\item Quelle valeur doit-on donner à $h$ pour avoir $P(75 - h \leqslant L \leqslant 75 + h) = 0,95$ ? 
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{B. Loi binomiale}

\medskip
 
Les pièces produites par l'entreprise sont livrées par lots de $20$.
 
On note D l'évènement: \og une pièce prélevée au hasard dans la production n'est pas conforme \fg. 

On suppose que $P(D) = 0,02$.
 
On prélève au hasard $20$ pièces dans la production. La production est assez importante pour que l'on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage aléatoire avec remise. 

On considère la variable aléatoire $X$ qui, à un lot de 20 pièces, associe le nombre de pièces non conformes qu'il contient.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Justifier que la variable aléatoire $X$ suit la loi binomiale de paramètres $20$ et $0,02$. 
\item Calculer la probabilité $P(X = 0)$. 
\item Calculer la probabilité qu'il y ait au moins une pièce non conforme dans ce lot de $20$~pièces.
\item Calculer l'espérance mathématiques, $E(X)$, de cette variable aléatoire et interpréter le résultat. 
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{C. Intervalle de fluctuation}

\medskip
 
\emph{Le cahier des charges établit que la proportion de $2$\,\% de pièces non conformes dans la production est acceptable.}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Donner l'intervalle de fluctuation asymptotique à 95\,\% de la fréquence des pièces non conformes dans un échantillon de taille $80$.

\medskip
 
\emph{On veut savoir si la machine de production est correctement réglée. Pour cela on prélève au hasard dans la production un échantillon de taille $80$ dans lequel $3$ pièces se révèlent être non conformes.}

\medskip
 
\item Quelle est la fréquence des pièces non conformes dans l'échantillon prélevé ? 
\item La machine de production doit-elle être révisée ? Justifier votre réponse. 
\end{enumerate} 

\newpage
\begin{center}
{\large \textbf{Annexe 1}}

\vspace{3cm}

\begin{tabularx}{0.5\linewidth}{|c|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
	&A 		&B\\ \hline
1	&$n$	&$u(n)$\\ \hline 
2	&0		&8\\ \hline 
3	&1		&\\ \hline 
4	&2		& \\ \hline
5	&3		&5,192\\ \hline 
6	&4		&\np{5,07681}\\ \hline 
7	&5 		&\np{5,03072}\\ \hline 
8	&6 		&\np{5,012288}\\ \hline 
9	&7 		&\np{5,0049152}\\ \hline 
10	&8 		&\np{5,00196608}\\ \hline 
11	&9 		&\np{5,00078643}\\ \hline 
12	&10 	&\np{5,00031457}\\ \hline 
13	&11 	&\np{5,00012583} \\ \hline
14	&12 	&\np{5,00005033}\\ \hline 
15	&13 	&\np{5,00002013}\\ \hline 
16	&14 	&\np{5,00000305}\\ \hline 
17	&15		&\np{5,00000322}\\ \hline 
18	&16 	&\np{5,00000129}\\ \hline 
19	&17 	&\np{5,00000052}\\ \hline 
20	&18 	&\np{5,00000021}\\ \hline 
\end{tabularx}
\end{center}
\end{document}