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%tapuscrit Jean-Claude Souque
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat  Sciences et Technologies de la santé et du social}
\lfoot{\small{Nouvelle Calédonie}}
\rfoot{\small{27 novembre 2020}}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center}
{ \textbf{\Large \decofourleft~Baccalauréat Sciences et Technologies de le la santé et du social~\decofourright\\[6pt] Nouvelle Calédonie 27 novembre 2020  }}
\end{center}
L’annexe page \pageref{reg}/\pageref{LastPage} est à rendre avec la copie

L’usage de la calculatrice avec mode examen actif est autorisé.

L’usage de la calculatrice sans mémoire, \og type collège \fg{} est autorisé.

\vspace{0,25cm}
 
\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 6 points}  

\medskip
 
Ces dernières années, la rougeole a fait son retour suite à la diminution du nombre de
personnes vaccinées.

Dans une région française, une étude statistique a montré que :
\begin{itemize}[label=$\bullet~$]
\item 79\,\% de cette population est vaccinée contre la rougeole ;
\item parmi les personnes vaccinées contre la rougeole, 0,1\,\% d’entre elles a contracté cette
maladie ;
\item parmi les personnes non vaccinées contre la rougeole, 10\,\% d’entre elles ont contracté
cette maladie.
\end{itemize}
On choisit au hasard une personne concernée par cette enquête. Chaque personne a la
même probabilité d’être choisie.

Pour tout évènement $A$, on note $\overline{A}$ l’évènement contraire de $A$.

Pour tout évènement $A$, si $B$ est un évènement de probabilité non nulle, la probabilité de $A$ sachant $B$ est notée $P_B(A)$.

On considère les évènements suivants :

\begin{itemize}[label=$\bullet~$]
\item $R$ : \og la personne choisie est atteinte de la rougeole \fg{} ;
\item $V$ : \og la personne choisie est vaccinée contre la rougeole\fg.
\end{itemize}

\emph{Les résultats des calculs de probabilités seront arrondis à $10^{-4}$.}

\begin{enumerate}
\item En utilisant les données fournies par l’énoncé, donner :
\begin{enumerate}
\item la probabilité de l’évènement $V$, notée $P (V )$.
\item les probabilités $P_V(R)$   et $P_{\overline{V}}(R)$.
\end{enumerate}
\item Recopier et compléter l’arbre pondéré de probabilités ci-dessous qui traduit la situation :
\begin{center}


\psset{nodesepA=0pt,nodesepB=3pt,treesep=0.75,labelsep=0.1pt,levelsep=3.5cm}
\pstree[treemode=R]{\TR{}}
{\pstree{\TR{$V$~~}\taput{$\dots$}}
	{
	\TR{$R$}\taput{$\dots$}
	\TR{$\overline{R}$}\tbput{$\dots$}
	}
\pstree{\TR{$\overline{V}$~~}\tbput{$\dots$}}
	{\TR{$R$}\taput{$\dots$}
	\TR{$\overline{R}$}\tbput{$\dots$}
	}
}
\end{center}
\item \begin{enumerate}
\item Décrire par une phrase l’évènement $\overline{V} \cap R$.
\item Calculer la probabilité de cet évènement.
\end{enumerate}
\item Démontrer que la probabilité de l’évènement $R$ est égale à 0,0218.
\item La personne choisie est atteinte de la rougeole. Calculer la probabilité qu’elle ne soit pas
vaccinée.
\item La région française dans laquelle l’étude a été menée compte 2 millions d’habitants. Un journal régional affirme dans l’un de ses articles : \og Recrudescence des cas de rougeole :
plus de \np{40000} malades dans notre région \fg. Cette affirmation est-elle correcte ?
\end{enumerate}

\vspace{0.5cm}
    
\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 6 points}  

\medskip

\textbf{Les parties A et B sont indépendantes.}
\bigskip
    
\textbf{Partie A : évolution du nombre de trottinettes électriques vendues en France}  

\medskip


On considère la fonction $f$ définie sur l’intervalle [0~;~10], par 

\[f(x) = \np{100000}\times 2,29^x.\]

On admet que la fonction $f$ a le même sens de variation sur l’intervalle [0 ;10] que la
fonction $g$ définie par $g(x) = 2,29^x$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Quel est le sens de variation de la fonction $f$ sur l’intervalle [0 ;10] ? Justifier la réponse.
\item Pour tout entier naturel $n$ inférieur ou égal à 10, on admet que le nombre de trottinettes électriques vendues en France au cours de l’année $2014 + n$ est la valeur de $f(n)$ arrondie à l’unité.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer le nombre de trottinettes électriques vendues au cours de l’année 2015.
	\item Déterminer à l’aide de la résolution d’une inéquation, l’année au cours de laquelle le nombre de trottinettes électriques vendues en France dépassera un million.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B: évolution du prix des trottinettes électriques en fonction du temps}  

\medskip

On s’intéresse maintenant au prix moyen des trottinettes électriques sur ces dernières
années. Les prix sont donnés dans le tableau ci-dessous.

\smallskip

\begin{center}
\begin{tabular}[]{|m{3.9cm}|*{5}{c|}}\hline
Année &2015& 2016& 2017& 2018& 2019\\\hline
Rang de l’année : $x_i$& 1 &2& 3& 4& 5\\\hline
Prix moyen en euro : $y_i$&870&767&618&477&399\\\hline
\end{tabular}
\end{center}

\smallskip

\textbf{En annexe, à rendre avec la copie}, on a représenté, dans un repère orthogonal, le nuage
de points de coordonnées $\left(x_i~;~ y_i\right)$ associé à la série statistique de l’énoncé.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer les coordonnées du point moyen G de ce nuage de points.
		\item Placer le point G dans le repère précédent.
	\end{enumerate}
\item On décide d’ajuster ce nuage de points par la droite D d’équation $y = -123,2x + 995,8$.

On admet que cet ajustement reste valable jusqu’en 2022.
\begin{enumerate}
\item  Démontrer que le point G appartient à la droite D.
\item Tracer la droite D dans le repère \textbf{en annexe}. Indiquer les coordonnées des points
utilisés.\end{enumerate}
\item En utilisant cet ajustement, calculer le prix moyen d’une trottinette électrique en 2020.
\item Déterminer, selon le modèle proposé, l’année au cours de laquelle le prix moyen d’une
trottinette électrique sera inférieur à 130 \euro. Préciser la méthode utilisée.
\end{enumerate}

\vspace{0.5cm}
    
\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 8 points}  

\medskip


\textbf{Les parties A et B sont indépendantes.}

\bigskip
    
\textbf{Partie A : premier modèle}  

\medskip

En 1985, la population de la France métropolitaine était de \np{55 284 000} habitants. Des
études statistiques permettent de supposer que cette population a continué d’augmenter
tous les ans de 0,51\,\% jusqu’en 2020.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Calculer le nombre d’habitants en France métropolitaine en 1986.
\item On modélise le nombre d’habitants de cette population par une suite $\left(u_n\right)$  de 1\up{er} terme

$u_0 = \np{55284000}$. Ainsi $u_0$ représente la population de la France métropolitaine en 1985 et $u_n$ représente la population de la France métropolitaine en $1985 + n$ , où $n$ est un entier naturel.
\begin{enumerate}
\item  Quelle est la nature de la suite $(u_n)$ ? Préciser sa raison.
\item Exprimer  $u_n$ en fonction de $n$, pour tout entier naturel $n$.
\item À l’aide de ce modèle, estimer, au millier près, le nombre d’habitants de la France
métropolitaine en 2020.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\bigskip
    
\textbf{Partie B : deuxième modèle}  

\medskip

On décide, dans cette partie, de modéliser la population de la France métropolitaine de 1985
à 2025 par la fonction $f$ définie sur l’intervalle [0 ; 40] par :

\[f(x) =-0,0003x^3 + 0,0117x^2 + 0,1728x + 55,2\]

où $x$ est le nombre d’années à partir de 1985 et $f(x)$ la population de la France
métropolitaine exprimée en million d’habitants.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Soit $f'$ la fonction dérivée de $f$ sur l’intervalle [0~;~40]. Calculer $f'(x)$ pour tout $x$ de l’intervalle [0~;~40].
\item Démontrer que, pour tout $x$ de l’intervalle [0~;~40], $f'(x) = \np{0,0009}(32 - x)(x + 6)$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Recopier et compléter le tableau de signes suivant :
\begin{center}
\begin{tabular}[]{|m{1.2cm}|m{6cm}|}\hline
\centering $x$&0 \hfill40\\\hline
$32 - x$	&\\\hline
$x + 6$		&\\\hline
$f'(x)$		&\\\hline
\end{tabular}
\end{center}

		\item En déduire le tableau de variation de la fonction $f$ sur l’intervalle 
[0~;~40]. Préciser $f(0)$, $f(40)$ ainsi que la valeur de l’extremum.
\end{enumerate}
		\item Quel est le maximum de la population de la France métropolitaine et en quelle année est-il atteint ?
\end{enumerate}
\bigskip

\textbf{Partie C}  

\medskip

En 2019, la population de la France métropolitaine était d’environ 65 millions. Lequel des deux modèles précédents semble le plus adapté ?

\vspace{1.5cm}
\begin{center}
\textbf{ANNEXE}
À rendre avec la copie\\
\bigskip
\textbf{\textsc{Exercice 2} }  
\end{center}

\begin{center}
\psset{xunit=1.2cm,yunit=0.01cm,labelFontSize=\scriptstyle}
\begin{pspicture}(-0.75,-200)(11.2,1100)
\multido{\n=0+1}{11}{\psline[linewidth=0.75pt,linecolor=gray](\n,0)(\n,1020)}
\multido{\n=0+100}{11}{\psline[linewidth=0.75pt,linecolor=gray](0,\n)(10,\n)}
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\psaxes[linewidth=0.95pt,,Dy=100,]{->}(0,0)(10.25,1050)
\psdots[dotstyle=+,dotscale =1.8,dotangle=45,linecolor=blue](1,870)(2,767)(3,618)(4,477)(5,399)
 \uput[ur](0,1000){\footnotesize Prix moyen d'une trottinette ( en euro)}
 \uput[d](9,- 35){\footnotesize Rang de l'année}
\end{pspicture}
\end{center}
\label{reg}
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