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%Tapuscrit : Jean-Claude Souque 
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat  ST2S }
\lfoot{\small{Antilles-Guyane}}
\rfoot{\small{18 juin 2019}}
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\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat Sciences et Technologies de la Santé et du Social ~\decofourright \\[5pt]Antilles-Guyane  18 juin 2019}} 
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\large \textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\medskip


Dans le cadre d’une campagne de réduction de la quantité de déchets, une enquête sur les habitudes
de compostage est menée auprès des habitants d’une ville.

Les informations recueillies ont permis d’établir que :
\begin{itemize}
\item  20\,\% des personnes interrogées ont moins de 30 ans et parmi elles 30\,\% pratiquent le compostage ;
\item la moitié des personnes entre 30 et 50 ans pratiquent le compostage ;
\item 35\,\% des personnes interrogées ont plus de 50 ans et parmi elles 70\,\% pratiquent le compostage.
\end{itemize}

On choisit au hasard une personne parmi celles interrogées. On considère les évènements suivants :

\begin{itemize}
\item[] $J$ : \og la personne a moins de 30 ans \fg{} ;
\item[] $M$ : \og la personne a entre 30 ans et 50 ans \fg{} ;
\item[] $S$ : \og la personne a plus de 50 ans \fg{} ;
\item[] $C$ : \og la personne pratique le compostage \fg.
\end{itemize}
On note $\overline{C}$ l’évènement contraire de $C$.

\begin{enumerate}
\item  En utilisant les données de l’énoncé, recopier et compléter l’arbre de probabilité ci-dessous :

\begin{center}

\pstree[treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=5pt,levelsep=3.5cm,shortput=nab,nrot=:U]{\TR{}}
{\pstree{\TR{$J$~~}^{$\np{0,2}$}}
	{
	\TR{$C$}^{$\dots$}
	\TR{$\overline{C}$}_{$\dots$}
	}
\pstree{\TR{$M$~~}^{$\dots$}}
	{\TR{$ C$}^{$\dots$}
	\TR{$\overline{C}$}_{$\dots$}
	}
\pstree{\TR{$S$~~}_{$\dots$}}
	{\TR{$C$}^{$\dots$}
	\TR{$\overline{C}$}_{$\dots$}
	}	
}

\end{center}


\item Définir par une phrase l’évènement $J \cap C$, puis calculer sa probabilité.
\item Calculer la probabilité de l’évènement : \og la personne a plus de 50 ans et pratique le compostage \fg.
\item  Est-il vrai qu’il y a plus d’une chance sur deux que la personne choisie pratique le compostage ?
Justifier.
\item Sachant que la personne choisie pratique le compostage, quelle est la probabilité qu’elle ait plus de 50 ans ? \emph{Arrondir au centième.}
\end{enumerate}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\large \textsc{Exercice 2} \hfill  8 points}

\medskip

La DREES a étudié l’évolution du nombre de bénéficiaires, en milliers, de l’ACTP (Allocation Compensatrice pour Tierce Personne) 
et de la PCH (Prestation de Compensation du Handicap), en France, de 2007 à 2016.

\medskip

\emph{Les deux parties de cet exercice peuvent être traitées de manière indépendante.}

\medskip

\textbf{Partie A :}

\medskip

Le tableau ci-dessous donne l’évolution du nombre de bénéficiaires (en milliers) de l’ACTP de 2007 à 2016.

\begin{tabularx}{\linewidth}{|>{\columncolor{lightgray}}c |m{1.935cm}|*{11}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
\rowcolor{lightgray}&\centering A &B& C&D&E& F& G &H& I&J&K\\\hline
1& Année& 2007& 2008& 2009& 2010& 2011 &2012& 2013& 2014 &2015& 2016\\\hline
2&Rang de l’année $x_i$&0& 1& 2& 3& 4 &5 &6& 7& 8& 9\\\hline
3&\begin{minipage}[]{1.92cm}
Nombre de bénéficiaires\\ de l’ACTP $y_i$\\(en milliers)\end{minipage}&120& 110& 100& 92 &87 &82 &76& 72& 69& 65\\\hline
4&\begin{minipage}[]{1.92cm}
Taux d’évolution entre\\ deux années consécutives\\(en \,\% )\end{minipage}&\cellcolor{lightgray} &&$-$9,1\,\% &$-$8,0\,\%& $-$5,4\,\%& $-$5,7\,\% &$-$7,3\,\%& $-$5,3\,\% &$-$4,2\,\% &$-$5,8\,\%\\\hline
 \multicolumn{12}{r}{\emph{Source : DREES, direction de la recherche, des études, de l’évaluation et des statistiques}}\\
\end{tabularx}
\begin{enumerate}
\item  Calculer le taux d’évolution du nombre de bénéficiaires de l’ACTP entre 2007 et 2008.

\emph{On donnera le résultat en pourcentage arrondi à $0,1$\,\%.}
\item La ligne 4 est au format pourcentage arrondi à 0,1\,\%. Quelle formule, à recopier vers la droite,
peut-on saisir en C4 pour obtenir les taux d’évolution entre deux années consécutives du
nombre de bénéficiaires de l’ACTP ?
\item Sur le graphique donné en \textbf{ annexe 1, à rendre avec la copie}, représenter le nuage de points
de coordonnées $\left(x_i~;~y_i\right)$ associé aux données du tableau précédent.
\item Déterminer les coordonnées du point moyen G de ce nuage de points et placer ce point G sur
le graphique.
\item  On décide d’ajuster ce nuage de points par la droite $(D)$ d’équation : $y = - 5,9x + 113,85$.
\begin{enumerate}
\item Vérifier que le point G appartient à la droite $(D)$.
\item Tracer la droite $(D)$ sur le graphique de l’\textbf{annexe 1} en précisant les coordonnées des
points utilisés.
\end{enumerate}
\item En prenant cet ajustement comme modèle d’évolution jusqu’en 2019, estimer le nombre de
bénéficiaires de l’ACTP en France en 2019. Préciser la démarche employée.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B :}

\medskip

En ce qui concerne la PCH (Prestation de Compensation du Handicap), le nombre de bénéficiaires
en 2015 était de \np{266000}. On estime que le nombre de bénéficiaires augmente de 6\,\% par an à partir
de 2015.

Pour tout entier naturel $n$, on note $u_n$ le nombre de bénéficiaires (en milliers) de la PCH, estimé selon ce modèle, pour l’année (2015+$n$). On a ainsi $u_0 = 266$.
\begin{enumerate}
\item Calculer les valeurs de $u_1$ et $u_2$.
\item Indiquer, sans justification, la nature de la suite $(u_n)$ et préciser sa raison.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Exprimer $u_n$ en fonction de $n$, pour tout entier naturel $n$.
		\item En déduire une estimation, arrondie au millier, du nombre de bénéficiaires de la PCH en 2022.
\end{enumerate}
\item Déterminer l’année à partir de laquelle le nombre de bénéficiaires de la PCH dépassera \np{500000}.
Préciser la démarche employée.
\end{enumerate}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\large \textsc{Exercice 3} \hfill  7 points}

\medskip

\textbf{Partie A :}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur l’intervalle $[0~;~16]$ par :

\[f(x) = - 0,16x^3 + 2,22x^2 - \np{3,7848}x + 30 .\]

\begin{enumerate}
\item  On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$.

Déterminer $f'(x)$ pour tout réel $x$ de l’intervalle $[0~;~16]$.

\item Vérifier que : $f'(x) = (x -8,3)(- 0,48x + 0,456)$.

\item Compléter le tableau de l’\textbf{annexe 2, à rendre avec la copie}, qui donne le signe de la dérivée
$f'$ et les variations de $f$.
\item Donner le maximum de la fonction $f$ sur $[0~;~16]$ (arrondi à l’unité) et la valeur pour laquelle
il est atteint.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B :}

\medskip

On s’intéresse à l’évolution de la quantité d’antigènes, d’une part, et de la quantité d’anticorps,
d’autre part, présents dans le sang d’une personne contaminée par des bactéries pathogènes, dans
les jours qui suivent la contamination.

On donne en \textbf{annexe 2, à rendre avec la copie}, les courbes représentatives de deux fonctions
dans un repère du plan :

\begin{itemize}
\item $\mathcal{C}_f$ est la courbe représentative de la fonction $f$ étudiée dans la partie A : elle représente la quantité
d’antigènes présents dans le sang en UA (Unité Arbitraire) en fonction du temps (en jours) écoulé
depuis la contamination.

\item $\mathcal{C}_g$ représente la quantité d’anticorps dans le sang en UA (Unité Arbitraire) en fonction du temps
(en jours) écoulé depuis la contamination.
\end{itemize}

En s’aidant du graphique de l'\textbf{annexe 2}, et en faisant apparaître les traits utiles à la lecture, répondre
aux questions suivantes :

\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item Quelle est la quantité d’antigènes présents dans le sang 6,5 jours après la contamination ?
\item Au bout de combien de temps commence la production d’anticorps ?
\end{enumerate}
\item Pendant combien de temps la quantité d’antigènes dépasse-t-elle 50 UA?

\item Au bout de combien de temps la quantité d’antigènes est-elle maximale ? Quelle est alors cette quantité en UA ?

\item La personne est considérée comme guérie lorsque la quantité d’anticorps présents dans le sang
est supérieure à la quantité d’antigènes présents dans le sang. Au bout de combien de temps
cette personne peut-elle être considérée comme guérie ?

\end{enumerate}
\newpage 

\textbf {\large Annexe 1\hfill à rendre avec la copie}

Exercice 2 :

\begin{center}
\psset{xunit=0.8cm,yunit=0.08cm,labelFontSize=\scriptstyle,labelsep=0.1pt}
\begin{pspicture}(-1,-1)(14.5,135)
 \multido{\n=0+1}{14}{\psline[linewidth=0.8pt](\n,0)(\n,132)}
 \multido{\n=0+2}{67}{\psline[linewidth=0.3pt,linecolor=lightgray](0,\n)(14,\n)}
% \multido{\n=0+10}{8}{\psline[linewidth=0.6pt](\n,-4000)(\n,16000)}
 \multido{\n=0+10}{14}{\psline[linewidth=0.8pt](0,\n)(14,\n)}
 \psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=10]{->}(0,0)(14,134)

\uput[d](13.5,-5){\footnotesize Rang de l’année}

\uput[r](0,135){\footnotesize Nombre de bénéficiaires de l’ACTP en milliers} 
\end{pspicture}
\end{center}

\newpage

\textbf{\large Annexe 2 \hfill à rendre avec la copie}

\textbf{\textsc{Exercice 3 :} Partie A}
\begin{center}
\psset{unit=0.7cm}
\begin{pspicture}(-1,-0.5)(16,6.5)
\psframe(15,6)
\psline(4.5,0)(4.5,6)\psline(0,5)(15,5)
\psline(0,4)(15,4)\psline(0,3)(15,3)\psline(0,2)(15,2)
\uput[r](2,5.5){$x$}\uput[r](4.5,5.5){$0$}\uput[l](15,5.5){$16$}
\uput[r](0,4.5){\footnotesize signe de $x-\np{8.3}$}
\uput[r](0,3.5){ \footnotesize signe de $-\np{0.48}x+\np{0.456}$}
\uput[r](0,2.5){\footnotesize signe de $f'(x)$}
\uput[r](0,1){\footnotesize variations de $f$}
\end{pspicture}
\end{center}

\textbf{\textsc{Exercice 3 :} Partie B}

\begin{center}
\psset{xunit=0.75cm,yunit=0.1cm,labelFontSize=\scriptstyle,labelsep=0.1pt}
\begin{pspicture}(1,0)(18,130)
 \multido{\n=0+0.5}{33}{\psline[linewidth=0.4pt,linecolor=lightgray](\n,0)(\n,108)}
 \multido{\n=0+5}{22}{\psline[linewidth=0.4pt,linecolor=lightgray](0,\n)(16.8,\n)}
 \multido{\n=0+1}{17}{\psline[linewidth=0.8pt](\n,0)(\n,108)}
 \multido{\n=0+10}{11}{\psline[linewidth=0.8pt](0,\n)(16.8,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=10]{->}(0,0)(17,110)
\def\Func{x x x 0.16 neg mul 2.22 add mul 3.7848 sub mul 30 add}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{13.15}{\Func}
\pscurve[linecolor=cyan](3,0)(6,2.5)(9,5)(10.5,10)(12,20.15)(13,33)(14,50)(15,71)(16,100)
\uput[d](16,-5){\scriptsize Temps écoulé en jours}
\uput[d](7.5,65){\blue $\displaystyle \mathcal{C}_f$} \uput[d](10.5,20){\cyan $\displaystyle \mathcal{C}_g$}
\uput[u](0,110){UA }
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}
