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%Tapuscrit : Jean-Claude Souque 
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat  ST2S }
\lfoot{\small{Antilles-Guyane}}
\rfoot{\small{19 juin 2018}}
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\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat ST2S Antilles-Guyane~\decofourright\\[5pt]19 juin 2018}} 
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\medskip


Il existe trois types d’eau qui peuvent être conditionnés : les eaux minérales, les eaux de source et
les eaux rendues potables par traitements.

Afin de vérifier le respect des dispositions législatives et réglementaires relatives à la sécurité sanitaire
de ces eaux, des contrôles sanitaires aux points de conditionnement de l’eau sont mis en place et
assurés par les agences régionales de santé. Le bilan, établi par la Direction Générale de la Santé,
révèle qu’en France durant l’année 2014 :

\begin{itemize}
\item[$\bullet$]  37\,\% des prélèvements ont été effectués sur des eaux minérales.

 Parmi eux, 96,5\,\% étaient conformes.
\item[$\bullet$] 61\,\% des prélèvements ont été effectués sur des eaux de source. 

Parmi eux, 99,4\,\% étaient conformes.
\item [$\bullet$] Parmi les prélèvements d’eaux rendues potables par traitements, 96,1\,\% étaient conformes.
\end{itemize}
\begin{flushright}
\footnotesize \emph{Source : Ministère des Solidarités et de la Santé (rapport 2014)}
\end{flushright}

On choisit un prélèvement au hasard dans l’ensemble des prélèvements de l’année 2014. On considère
les évènements suivants :

\begin{itemize}
\item $M$ : \og le prélèvement a été effectué sur une eau minérale\fg{};
\item $S$ : \og le prélèvement a été effectué sur une eau de source\fg{} ;
\item $R$ : \og le prélèvement a été effectué sur une eau rendue potable par traitements \fg{} ;
\item $C$ : \og le prélèvement est conforme \fg.
\end{itemize}
On note $\overline{C}$ l’évènement contraire de $C$.

\medskip

\emph{Dans cet exercice, on donnera des valeurs approchées au millième près des résultats.}

\medskip
\begin{enumerate}
\item  À partir des données de l’énoncé, déterminer :
\begin{enumerate}
\item  la probabilité de l’évènement S, notée P (S) ;
\item la probabilité que le prélèvement soit non conforme sachant qu’il a été effectué sur une
eau minérale, notée $P_M (\overline{C})$.
\end{enumerate}
\item Compléter l’arbre de probabilité, donné en \textbf{annexe page \pageref{arbre} à rendre avec la copie}, qui
décrit la situation.
\item \begin{enumerate}
\item  Décrire par une phrase l’évènement $M \cap C$ et calculer la probabilité de cet évènement.
\item Montrer que la probabilité que le prélèvement choisi soit conforme et ait été effectué sur
une eau rendue potable par traitements est environ égale à 0,019.
\end{enumerate}
\item Montrer que la probabilité que le prélèvement choisi soit conforme est d’environ \np{0.982}.
\item On choisit à présent un prélèvement au hasard parmi les prélèvements non conformes de
l’année 2014.

Calculer la probabilité que le prélèvement choisi ait été effectué sur une eau minérale.
\end{enumerate}


\vspace{0.5cm}

\textbf{\textsc{Exercice} 2 \hfill 6 points}

\vspace{0.5cm}

L’Allocation Personnalisée d’Autonomie (APA) est une allocation destinée aux personnes âgées de 60 ans et plus en perte d’autonomie.

\medskip

\textbf{PARTIE A :}

\medskip

Sur une feuille de calcul, le tableau suivant recense les dépenses d’APA en établissement entre 2006
et 2015 en France métropolitaine et dans les départements et régions d’Outre-Mer (hors Mayotte).

\medskip

{\small
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|m{2.755cm}|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}}
\hline 
&\centering{A}& B &C& D& E& F& G& H& I& J& K \\
\hline
 1& Année &2006& 2007& 2008& 2009 &2010 &2011 &2012& 2013& 2014& 2015\\\hline
 2& Dépenses (en millions d’euros)&\np{1 462}& \np{1 584}& \np{1 718}& \np{1 834}& \np{1950} & \np{2 028}&\np{2 106} &\np{2 182}& \np{2 257}& \np{2 339}\\\hline
 3&Taux d’évolution entre deux années consécutives (en \%)&\cellcolor{lightgray}&8,3\,\%&&&&&&&&\\\hline
 \multicolumn{12}{r}{\emph{Source : Ministère des Solidarités et de la Santé}}\\
\multicolumn{12}{r}{\emph{Données concernant l’allocation personnalisée d’autonomie (APA)}}\\
 \end{tabularx}
}
\medskip
\begin{enumerate}
\item  Calculer le taux d’évolution, en pourcentage, des dépenses d’APA en établissement entre 2006
et 2015. Arrondir à 0,1\,\%.

\item La ligne 3 est au format pourcentage arrondi à 0,1\,\%. Quelle formule peut-on saisir en C3
pour obtenir, par recopie vers la droite, les taux d’évolution entre deux années consécutives ?

\emph{On ne demande pas de compléter le tableau.}
\end{enumerate}


\medskip

\textbf{PARTIE B :}

\medskip

On reprend les résultats de la partie A sous la forme suivante :

\smallskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.755cm}|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Année 				&2006	& 2007& 2008& 2009 &2010 &2011 &2012& 2013& 2014& 2015\\\hline
rang de l'année : $x_i$	&0		&1&2&3&4&5&6&7&8&9\\\hline 
Dépenses (en millions d’euros) :$y_i$&\np{1 462}& \np{1 584}& \np{1 718}& \np{1 834}& \np{1950} & \np{2 028}&\np{2 106} &\np{2 182}& \np{2 257}& \np{2 339}\\\hline
\end{tabularx}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item  Dans le repère donné en \textbf{annexe page \pageref{repere} à rendre avec la copie}, on a représenté le nuage de points de coordonnées $(x_i ; y_i)$ associé aux données du tableau précédent. Calculer les coordonnées du point moyen G de ce nuage de points. Placer G dans le repère.

 \item On admet que la droite $\Delta$ passant par G et de coefficient directeur 96 réalise un ajustement affine convenable du nuage de points, et que cet ajustement est un modèle valable jusqu’en 2020.
\begin{enumerate}
\item Montrer que l’équation réduite de la droite $\Delta$ est $y = 96x + \np{1514}$.
\item Selon ce modèle, déterminer par le calcul une prévision des dépenses d’APA en établissement en 2018.
\item Tracer la droite $\Delta$ dans le repère donné en \textbf{annexe}. Préciser les coordonnées des points
utilisés.
\item Selon ce modèle, déterminer par lecture graphique l’année à partir de laquelle les dépenses
d’APA en établissement dépasseront $2,8$ milliards d’euros.

\emph{On fera apparaître les traits utiles à la lecture.}
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\vspace{0.5cm}

\textbf{\textsc{Exercice} 3 \hfill 9 points}

\vspace{0.5cm}

Les maladies cardio-vasculaires sont une cause majeure d’incapacité et de décès prématurés dans le
monde entier. Parmi les examens qui permettent de prévenir ces maladies, on recense la tonométrie
artérielle et la scintigraphie cardiaque.

\medskip

\textbf{Les parties A et B sont indépendantes.}

\medskip

\textbf{PARTIE A :}

\medskip
La tonométrie artérielle permet d’obtenir une mesure continue de la pression artérielle. L’examen
renseigne sur l’état des artères du patient dans le cadre du développement de l’hypertension artérielle.
Un enregistrement des mesures permet d’apprécier la courbe de pression artérielle.

On note $f$ la fonction qui au temps $t$ en millisecondes (ms) associe la pression artérielle radiale
$f(t)$ en millimètres de mercure (mmHg), mesurée au repos chez un patient suspecté d’insuffisance
cardiaque.

On considère $\mathcal{C}_f$ la courbe représentative de $f$ sur l’intervalle [0 ; 650].

Cette courbe $\mathcal{C}f$ admet quatre tangentes horizontales, mises en évidence sur le graphique ci-dessous.



\begin{center}
\psset{xunit=0.0175cm,yunit=0.15cm}
\begin{pspicture}(-5,-10)(690,60)
\multido{\n=0+10}{69}{\psline[linewidth=0.35pt,linecolor=lightgray](\n,-5)(\n,56)}
\multido{\n=0+2}{29}{\psline[linewidth=0.35pt,linecolor=lightgray](0,\n)(680,\n)}
\multido{\n=0+50}{13}{\psline[linewidth=0.5pt,linecolor=darkgray](\n,-5)(\n,56)}
\multido{\n=0+10}{6}{\psline[linewidth=0.5pt,linecolor=darkgray](0,\n)(680,\n)}
\psaxes[xAxis=false,linewidth=0.85pt,Dx=50,Dy=10,Oy=90]{->}(0,0)(690,58.5)
\psaxes[yAxis=false,linewidth=0.85pt,Dx=50]{->}(0,-5)(690,-5)
\pscurve[linewidth=0.9pt,linecolor=blue](0,5)(50,24)(100,46)(120,49)(150,43.6)(200,20)(260,8)(290,10)(400,20)(500,6,2)(585,0)(650,5)
 \psline[linewidth=0.6pt,linecolor=red]{<->}(80,49)(160,49)\psline[linewidth=0.6pt,linecolor=red]{<->}(220,8)(300,8)
 \psline[linewidth=0.6pt,linecolor=red]{<->}(360,20)(440,20)\psline[linewidth=0.6pt,linecolor=red]{<->}(545,0)(625,0)
\psline[linewidth=0.65pt,linecolor=red]{-}(120,48)(120,50)\psline[linewidth=0.65pt,linecolor=red]{-}(260,7)(260,9)
\psline[linewidth=0.65pt,linecolor=red]{-}(400,19)(400,21)\psline[linewidth=0.65pt,linecolor=red]{-}(585,-1)(585,1)
\uput[ur](0,55){\footnotesize Pression artérielle en mmHg}\uput[u](650,-5.7){\footnotesize Temps en ms}\uput[d](200,32){$\mathcal{C}_f$}
\end{pspicture}
\end{center} 

Répondre aux questions \textbf{1.}, \textbf{2 .} et \textbf{3.} avec la précision permise par le graphique.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Dresser le tableau de variation de la fonction $f$ sur l’intervalle [0 ; 650].

\item  Sur quel intervalle de temps, la pression artérielle est-elle supérieure à \np[mmHg]{130} ?
\item \begin{enumerate}
 \item Déterminer la valeur systolique mesurée, c’est-à-dire la valeur maximale de la pression
artérielle.
\item Déterminer la valeur diastolique mesurée, c’est-à-dire la valeur minimale de la pression
artérielle.
\item Un patient est en hypertension artérielle lorsque la pression systolique est supérieure ou
égale à \np[mmHg]{140} ou que la pression diastolique est supérieure ou égale à \np[mmHg]{90}.
 
Ce patient est-il en hypertension ? Justifier.
\end{enumerate}
\item La fonction $f$ a été représentée sur l’intervalle de temps [0 ; 650] ; la durée 650 millisecondes
correspond à celle d’un battement de c\oe ur du patient. On parle de tachycardie lorsque, au
repos, le nombre de battements du c\oe ur est supérieur à 100 par minute. D’après cet examen,
peut-on estimer que le patient souffre de tachycardie ?
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{PARTIE B :}

\medskip

La scintigraphie cardiaque est une technique d’imagerie qui permet d’examiner la qualité de l’irrigation
du c\oe ur par les artères coronaires.

Lors de cet examen, on injecte au patient un échantillon d’un isotope de Thallium d’activité radioactive
\np[MBq]{60} (Méga Becquerel).

On appelle demi-vie le temps mis par une substance radioactive pour perdre la moitié de son activité.

Ainsi, après une demi-vie, l’activité radioactive de cet échantillon de Thallium est de \np[MBq]{30}  et après
deux demi-vies, l’activité radioactive de cet échantillon est de \np[MBq]{15}.

On note $u_0$ l’activité radioactive de cet échantillon (en MBq) à l’injection et $u_n$ l’activité radioactive
de cet échantillon (en MBq) après $n$ demi-vies avec $n$ entier naturel.
\begin{enumerate}
\item  Donner les valeurs de $u_0$, $u_1$, $u_2$ et $u_3$.
\item Exprimer $u_{n+1}$ en fonction de $u_n$. En déduire la nature de la suite $(u_n)$.
\item \begin{enumerate}
\item  Exprimer $u_n$ en fonction de $n$.
\item Déterminer l’activité radioactive de cet échantillon après 5 demi-vies.
\end{enumerate}
\item Déterminer le plus petit entier $n$ à partir duquel $u_n < 0,25$.
\item Sachant que la demi-vie de cet isotope de Thallium est d’environ 3 jours, déterminer le nombre
de jours au bout desquels on est certain que l’activité radioactive de cet échantillon est strictement inférieure à \np[MBq]{0.25}.
\end{enumerate}


\newpage

\textbf{\large Annexe  \hfill à rendre avec la copie}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice} 1 :}

\begin{center}
\psset{nodesep=0.1,treesep=0.75,labelsep=0.1pt}
\pstree[treemode=R]{\TR{}}
{\pstree{\TR{$M$}\taput{$\dots$}}
	{
	\TR{$C$}\taput{$\dots$}
	\TR{$\overline{C}$}\tbput{$\dots$}
	}
\pstree{\TR{$S$}\tbput{$\dots$}}
	{\TR{$C$}\taput{$\dots$}
	\TR{$\overline{ C}$}\tbput{$\dots$}
	}
\pstree{\TR{$R$}\tbput{$\dots$}}
	{\TR{$C$}\taput{$\dots$}
	\TR{$\overline{ C}$}\tbput{$\dots$}
	}	

}
\end{center} 
\label{arbre}

\textbf{\textsc{Exercice} 2 : Partie B}



\psset{xunit=0.85cm,yunit=0.009cm}
\begin{pspicture}(-1.2,-50)(17,1700)
 \multido{\n=0+1}{16}{\psline[linewidth=0.55pt,linecolor=darkgray](\n,-50)(\n,1600)}
\multido{\n=0+20}{81}{\psline[linewidth=0.35pt,linecolor=lightgray](0,\n)(15,\n)}
% \multido{\n=0+100}{13}{\psline[linewidth=0.5pt,linecolor=darkgray](\n,-5)(\n,56)}
\multido{\n=0+100}{17}{\psline[linewidth=0.55pt,linecolor=darkgray](0,\n)(15,\n)}
\psaxes[xAxis=false,linewidth=0.85pt,,Dy=100,Oy=1400]{->}(0,0)(16,1650)
\psaxes[yAxis=false,linewidth=0.85pt,Dx=1]{->}(0,-50)(15.7,-50)
\psdots[dotstyle=Bullet,dotscale =1.3](0,62)(1,184)(2,318)(3,434)(4,550)(5,628)(6,706)(7,782)(8,857)(9,939)
\uput[ur](0,1600){\footnotesize Dépenses d’APA en établissement en millions d’euros}\uput[ul](15,-57){\footnotesize Rang $x$ de l’année}
\end{pspicture}
 \label{repere}
\end{document}