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% Tapuscrit : Jean-Claude Souque
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}

\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat  Sciences et Technologies de la Santé et du Social (ST2S)}
\lfoot{\small{Antilles-Guyane}}
\rfoot{\small{6 septembre 2018}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}\textbf{Durée : 2 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~ Baccalauréat ST2S Antilles-Guyane~\decofourright\\[5pt]6 septembre 2018}}
 \end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill(9 points)}

La Direction de la recherche, des études, de l’évaluation et des statistiques (Drees) collecte des
informations sur les établissements d’accueil des enfants de moins de 6 ans.
\medskip

\textbf{\large Les parties A et B de cet exercice sont indépendantes.}

\medskip

\textbf{Partie A :}

\medskip

Ces établissements d’accueil se caractérisent notamment par leurs modes d’accueil : l’accueil en
multiaccueil, en monoaccueil ou l’accueil familial.

Une enquête de la Drees révèle qu’au 31 décembre 2013, en France métropolitaine :
\begin{itemize}
\item  31,1\,\% des établissements sont des structures monoaccueil dont 58,8\,\% sont gérées par des organismes publics.
\item  63,6\,\% des établissements sont des structures multiaccueil dont 55,6\,\% sont gérées par des organismes publics.
\item Les autres établissements sont des structures d’accueil familial dont 91\,\% sont gérées par des
organismes publics.
\end{itemize}

On choisit un établissement au hasard dans l’ensemble des établissements d’accueil. On considère
les évènements suivants :

\begin{enumerate}
\item [–] $A$ : \og l’établissement est une structure monoaccueil \fg{} ;
\item [–] $B$ : \og l’établissement est une structure multiaccueil \fg{} ;
\item [–] $C$ : \og l’établissement est une structure d’accueil familial{} \fg ;
\item [–] $D$ : \og l’établissement est géré par un organisme public \fg.
\end{enumerate}

On note $\overline{D}$ l’évènement contraire de $D$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item À partir des données de l’énoncé, déterminer :
\begin{enumerate}
\item  La probabilité de l’évènement $A$.
\item La probabilité que l’établissement soit géré par un organisme public sachant qu’il s’agit
d’une structure multiaccueil.
\end{enumerate}
\item Sur \textbf{l’annexe 1 page \pageref{arbre}/\pageref{LastPage}, à rendre avec la copie}, compléter l’arbre de probabilité qui
représente la situation.
\item \emph{Dans cette question les probabilités calculées seront arrondies au millième.}
\begin{enumerate}
\item Décrire par une phrase l’évènement $A \cap D$ et calculer la probabilité de cet évènement.
\item Montrer que la probabilité que l’établissement soit géré par un organisme public est
environ égale à 0,585.
\end{enumerate}
\item Un journaliste affirme que parmi les établissements gérés par des organismes non publics,
environ 2 sur 3 sont des structures multiaccueil.

Cette affirmation est-elle vraie ? Justifier la réponse.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B :}

\medskip

Le tableau suivant recense le nombre total d’établissements multiaccueil entre 2009 et 2013 en
France métropolitaine.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{4.9cm}|*{5}{>{\small  \centering \arraybackslash}X|}}
\hline
Année 				&2009		&2010		&2011		&2012		&2013\\\hline
Rang $x_i$ du mois 	&0 			&1			& 2			& 3 		&4 \\\hline
Nombre $y_i$ d'établissement
 multiaccueil 		&\np{5 720}	&\np{6250}	& \np{6900}&\np{7560}	& \np{8050}\\\hline
\multicolumn{6}{r}{\emph{\small Source : enquête PMI-Drees -- 2009 à 2013, France métropolitaine .}}\\
\end{tabularx}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item  Calculer le taux d’évolution du nombre d’établissements multiaccueil entre 2009 et 2013.
\emph{Arrondir à }0,1\,\%.
\item Sur le graphique donné en \textbf{ annexe 1 page \pageref{arbre}/\pageref{LastPage}}, représenter le nuage de points de coordonnées
$\left(x_i~;~y_i\right)$ associé aux données du tableau précédent.
\item Calculer les coordonnées du point moyen G de ce nuage de points.

Placer le point G sur le graphique de l’\textbf{annexe 1}.
\item On admet que la droite $\Delta$ d’équation $y = 597x + \np{5702}$ réalise un bon ajustement affine du nuage de points et que cet ajustement reste valable jusqu’en 2018.
	\begin{enumerate}
\item Montrer que le point G appartient à cette droite $\Delta$.
\item Tracer la droite $\Delta$ sur le graphique de l’\textbf{annexe 1}.
\item Selon ce modèle, déterminer une prévision du nombre d’établissements multiaccueil en
2018. Indiquer la méthode utilisée.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0.5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill(6 points)}

\vspace{0.5cm}

Dans une usine pharmaceutique, une unité de production fabrique un médicament qu’elle vend par
lots. Sa capacité de production est limitée à 60 lots par mois.

\medskip

\textbf{Partie A :}

\medskip


Sur le graphique de l’\textbf{annexe 2, à rendre avec la copie}, est représenté le bénéfice, en euros, en
fonction du nombre de lots fabriqués et vendus en un mois.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Avec la précision permise par le graphique de l’\textbf{annexe 2  page \pageref{courbe}/\pageref{LastPage}} et en faisant apparaître
les traits utiles à la lecture :
\begin{enumerate}
\item  Déterminer le bénéfice, en euros, correspondant à la fabrication et à la vente en un mois
de 10 lots de ce médicament.
\item Déterminer le nombre de lots que l’usine pharmaceutique doit fabriquer et vendre en un
mois pour obtenir un bénéfice de \np{6000} euros.
\item  Pour quels nombres de lots fabriqués et vendus en un mois, l’usine pharmaceutique
réalise-t-elle un bénéfice supérieur ou égal à \np{14000} euros ?
\end{enumerate}
\item Pour quels nombres de lots fabriqués et vendus en un mois, la production est-elle rentable ?
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B :}

\medskip

On admet que le bénéfice en fonction du nombre de lots fabriqués et vendus en un mois est modélisé
par la fonction $f$ définie sur l’intervalle [0~;~60] par $f(x) = -10x^2 + 860x - \np{4000}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  La fonction $f'$ est la fonction dérivée de la fonction $f$. Déterminer $f'(x)$ pour tout réel $x$
appartenant à l’intervalle [0~;~60].
\item  Étudier le signe de $f'(x)$ sur l’intervalle [0~;~60]. Dresser le tableau de variations de la fonction
$f$ sur l’intervalle [0~;~60].
\item  En déduire le bénéfice maximal ainsi que le nombre de lots fabriqués et vendus correspondant
à ce bénéfice maximal.
\end{enumerate}

\vspace{0.5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3}\hfill(5 points)}

\vspace{0.5cm}

Lors d’une culture \emph{in vitro} de bactéries \emph{Escherichia coli} on s’intéresse à la phase de croissance
exponentielle lors de laquelle, dans les conditions optimales de température à 37\textcelsius, le nombre de
bactéries double toutes les 20 minutes.

Lors de la phase exponentielle, le temps nécessaire pour que le nombre de bactéries double, ici 20
minutes, est appelé temps de génération.

\smallskip

On estime qu’au début de la phase exponentielle, le nombre de bactéries \emph{Eschericha coli} par mL
s’élève à 50 millions. Soit $u_0$ le nombre de bactéries exprimé en millions au début de la phase
exponentielle et $u_n$ le nombre de bactéries après $n$ temps de génération, c’est-à-dire après $n$ fois 20 minutes.

On a ainsi $u_0 = 50$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $u_1$ et $u_2$.
		\item Montrer que $u_3 = 400$ et interpréter la valeur de $u_3$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Quelle est la nature de la suite $\left(u_n\right)$ ?
		\item Exprimer $u_n$ en fonction de $n$.
		\item  Calculer le nombre de bactéries par mL au bout de 2 heures de phase exponentielle.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Déterminer la plus petite valeur entière $n$ telle que $50 \times 2^n \geqslant \np{200 000}$.
		\item Est-il vrai qu’après 4 heures de phase exponentielle le nombre de bactéries par mL sera
		supérieur à 200 milliards ?
	\end{enumerate}
\item Une personne affirme qu’après 48 heures de phase exponentielle, le nombre de bactéries par
mL sera supérieur à $10^{45}$.

Que pensez-vous de cette affirmation ?

\end{enumerate}

\newpage

\textbf{\large Annexe 1 \hfill à rendre avec la copie}

\medskip 

\textbf{\textsc{Exercice~} 1 : Partie A}
\begin{center}
\pstree[linecolor=blue,treemode=R,nodesep=2.5pt,labelsep=0.1pt]{\TR{}}
{
	\pstree{\TR{$A$}\taput{$\dots$}}
	  { 
		  \TR{$D$}\taput{$\dots$}
		  \TR{$\overline{D}$}\tbput{$\dots$}	   
	  }
	\pstree{\TR{$B$}\tbput{$\dots$}}
	  {
		  \TR{$D$}\taput{$\dots$}
		  \TR{$\overline{D}$}\tbput{$\dots$}
	  }
	\pstree{\TR{$C$}\tbput{$\dots$}}
	  {
		  \TR{$D$}\taput{$\dots$}
		  \TR{$\overline{D}$}\tbput{$\dots$}
	  }
}
\end{center}
\label{arbre}
\vspace{1cm}

\textbf{\textsc{Exercice~} 1 : Partie B}

\begin{center}
\psset{xunit=1cm,yunit=0.002cm,labelFontSize=\scriptstyle}
\begin{pspicture}(-1,-100)(12,7000)
\multido{\n=0+1}{12}{\psline[linewidth=1pt,linecolor=darkgray](\n,-50)(\n,6750)}
\multido{\n=0+50}{136}{\psline[linewidth=0.75pt,linecolor=lightgray](0,\n)(11,\n)}
\multido{\n=0+500}{14}{\psline[linewidth=1pt,linecolor=darkgray](0,\n)(11,\n)}
\psaxes[linewidth=0.95pt,Oy=5000,Dy=500,]{->}(0,0)(11.7,7000)
% \psdot[dotstyle=square,fillcolor=red,dotscale =1.3,dotangle=45](3,362)
%  \psdots[dotstyle=+,dotscale =1.4,dotangle=45](0,200)(1,233)(2,316)(3,360)(4,448)(5,457)(6,520)
%  \uput[u](2,1640){\footnotesize Nombre de visiteurs par mois}
\uput[d](10,- 150){\footnotesize Rang $x$ du mois}
 
\end{pspicture}
\end{center}
\newpage

\textbf{\large Annexe 2 \hfill à rendre avec la copie}

\medskip 

\textbf{\textsc{Exercice~} 2}
\begin{center}
\psset{xunit=0.16cm,yunit=0.0009cm,labelFontSize=\scriptstyle}
\begin{pspicture}(-10,-4500)(80,17000)
\multido{\n=0+1}{71}{\psline[linewidth=0.3pt,linecolor=lightgray](\n,-4000)(\n,16000)}
\multido{\n=-4000+100}{200}{\psline[linewidth=0.3pt,linecolor=lightgray](0,\n)(70,\n)}
\multido{\n=0+10}{8}{\psline[linewidth=0.6pt](\n,-4000)(\n,16000)}
\multido{\n=-4000+1000}{21}{\psline[linewidth=0.6pt](0,\n)(70,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=10,Dy=1000,]{->}(0,0)(0,-4500)(70,16000)
\def\Func{x x 10 neg mul 860 add mul 4000 sub}
\psplot[plotpoints=1000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{60}{\Func}
\uput[u](57,0){\footnotesize Nombre de lots fabriqués et vendus}
\uput[d](58,13200){\blue $\displaystyle C_f$}
\uput[u](-8,13000){\rotatebox{90}{Bénéfice en euros} }
\end{pspicture}
\end{center}
\label{courbe}
\end{document}