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%Tapuscrit : Denis Vergès 
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
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\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat Sciences et Technologies de la Santé et du Social ~\decofourright \\[5pt]Antilles-Guyane  10 septembre 2019}} 
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 6 points}

\medskip

L'animatrice d'une maison de retraite propose deux sorties aux $80$ résidents: la visite d'une fromagerie et la visite d'un musée.

Sur les $80$ résidents,

\begin{itemize}
\item $30$ résidents se sont inscrits à la visite de la fromagerie,
\item $25$ résidents se sont inscrits à la visite du musée,
\item $20$ résidents se sont inscrits aux deux visites.
\end{itemize}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Compléter le tableau d'effectifs situé en annexe 1, à rendre avec la copie. Aucune justification
n'est exigée.
\item  On choisit un résident au hasard.

On note $F$ l'évènement : \og le résident est inscrit à la visite de la fromagerie \fg.

On note $M$ l'évènement: \og le résident est inscrit à la visite du musée \fg.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer les probabilités $P(F)$ et $P(M)$.
		\item Définir par une phrase l'évènement $F \cap M$ et calculer la probabilité de cet évènement.
		\item Calculer la probabilité que le résident choisi au hasard soit inscrit à la visite de la fromagerie ou à la visite du musée.
 	\end{enumerate}
\item Déterminer $P_F(M)$. Interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que si un résident n'est pas inscrit à la visite du musée, alors il y a plus de $8$ chances sur $10$ pour qu'il ne soit pas inscrit à la visite de la fromagerie.
		\item L'animatrice affirme que si un résident n'est pas inscrit à une des visites, il y a une forte probabilité qu'il ne soit pas inscrit à l'autre. 
		
Cette affirmation est-elle correcte ? Justifier la réponse.
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 8 points}

\medskip

En France, nous sommes tous des donneurs potentiels d'organes et de tissus, sauf en cas de refus explicite. Dans un rapport sur l'application de la loi de bioéthique, en date de janvier 2018, l'agence de biomédecine fait état de l'évolution du nombre de donneurs décédés en état de mort encéphalique, et des prélèvements effectifs sur ces donneurs.

\medskip

\emph{Les parties {\rm A} et {\rm B} de cet exercice peuvent être traitées de manière indépendante.}

\bigskip

\textbf{Partie A : donneurs décédés}

\medskip

Le nombre de donneurs décédés, en état de mort encéphalique, de 2012 à 2016, est donné par le tableau suivant :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
\textbf{Année} &2012 &2013 &2014 &2015 &2016\\ \hline
\textbf{Rang de l'année }\boldmath $x_i$\unboldmath &0 &1 &2 &3 &4\\ \hline
\textbf{Nombre de donneurs }\boldmath $y_i$\unboldmath &\np{3301} &\np{3336} &\np{3547} &\np{3579} &\np{3676}\\ \hline
\multicolumn{6}{r}{\scriptsize \emph{Source: fédération des Associations pour le Don d'Organes et Tissus humains}}
\end{tabularx}
\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Sur le graphique donné en annexe 1, à rendre avec la copie, représenter le nuage de points de coordonnées $\left(x_i~;~y_i\right)$ associé aux données du tableau précédent.
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que les coordonnées du point moyen G de ce nuage sont G(2~;~3487,8).
		\item Placer G sur le graphique de l'annexe 1.
 	\end{enumerate}
\item  Soit $(D)$ la droite d'équation $ = 99,1x + \np{3289,6}.$
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que G appartient à cette droite $(D)$.
		\item Tracer la droite $(D)$ sur l'annexe 1 en précisant les coordonnées des points utilisés.
 	\end{enumerate}
\item  On décide de faire un ajustement affine du nuage de points par la droite $(D)$. On considère que cet ajustement est valable jusqu'en 2025. À l'aide de cet ajustement, estimer :
	\begin{enumerate}
		\item graphiquement, l'année à partir de laquelle le nombre de donneurs dépassera \np{4000} ;
		\item par le calcul, le nombre de donneurs en 2023.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B : donneurs prélevés}

\medskip

Les donneurs décédés, en état de mort encéphalique, effectivement prélevés sont donnés par le tableau suivant :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
\textbf{Année}& 2012 &2013 &2014 &2015 &2016\\ \hline
\textbf{Nombre de donneurs prélevés}&\np{1589} &\np{1627} &\np{1655} &\np{1769} &\np{1770}\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

La tendance de croissance observée sur la période 2012-2016 permet de modéliser l'évolution du nombre de donneurs prélevés chaque année, par une augmentation annuelle de 2,7\,\% à partir de l'année 2016.

On note alors $v_n$ l'estimation, selon ce modèle, du nombre de donneurs prélevés au cours de l'année $(2016+n)$, pour $n$ entier naturel.

Ainsi $v_0 = \np{1770}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer $v_1$ et $v_2$ (\emph{arrondir les résultats à l'unité}). Interpréter le résultat trouvé pour $v_2$ dans le contexte de l'exercice.
\item On utilise la feuille de calcul ci-dessous pour calculer l'estimation selon ce modèle du nombre de donneurs prélevés.

Quelle formule, à recopier vers la droite, peut-on saisir dans la cellule C2 pour obtenir l'estimation du nombre de donneurs prélevés les années suivantes ?

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|l|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
	&A &B &C &D &E &F &G &H &I\\ \hline
1 	&\textbf{Année}& 2016 &2017 &2018 &2019 &2020 &2021 &2022 &2023\\ \hline
2 	&Nombre de donneurs prélevés& \np{1770}&	&	&	&	&	&	&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
 
\item Indiquer, sans justification, la nature de la suite $\left(v_n\right)$ et préciser sa raison.
\item Pour tout entier naturel $n$, exprimer $v_n$ en fonction de $n$.
\item Montrer que, selon ce modèle, on peut estimer à \np{2133} le nombre de donneurs prélevés en 2023.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C :}

\medskip

Un analyste affirme que, selon les estimations des parties A et B, la proportion de donneurs décédés en état de mort encéphalique en 2023 qui seront effectivement prélevés ne dépassera pas 50\,\%. Cette affirmation est-elle correcte  ? Justifier la réponse.

\newpage

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 6 points}

\medskip

Le réseau Sentinelles a recensé en continu le nombre de personnes atteintes de la grippe sur une période de 15 semaines au cours de l'hiver 2017.

Le seuil épidémique étant fixé à $175$ cas pour \np{100000} habitants, le suivi épidémiologique est déclenché après 7 semaines de recensement et s'achève à la fin de la 15\up{e} semaine.

La courbe en \textbf{annexe 2, à rendre avec la copie} représente l'évolution du nombre de cas pour \np{100000} habitants sur la période de suivi épidémiologique.

\bigskip

\textbf{Partie A : Lectures graphiques}

\medskip

On fera apparaître les traits utiles à la lecture.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Après combien de semaines de recensement, le pic épidémiologique a-il été atteint?
		\item Quel a été le nombre de cas recensés pour \np{100000} habitants au moment de ce pic ?
 	\end{enumerate}
\item Durant combien de semaines, le nombre de cas de grippe pour \np{100000} habitants a-t-il été supérieur à $300$ ?
\item Après combien de semaines de recensement le nombre de cas de grippe pour \np{100000} habitants est-il redevenu inférieur au seuil épidémique?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B : Étude de fonction}

\medskip

Soit la fonction $f$ définie sur l'intervalle [7~;~15] par:

\[f(x) = 1,3x^3 - 58,5x^2 + 780x - \np{2850}.\]

Cette fonction $f$ permet de modéliser, en fonction du temps $x$ exprimé en semaines, l'évolution du nombre de cas de grippe pour \np{100000} habitants sur la période de suivi épidémiologique.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer $f(7)$, $f(10)$ et $f(15)$.
\item On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer $f'(x)$ pour tout réel $x$ de l'intervalle [7~;~15].
		\item Vérifier que $f'(x) = 3,9(x - 10)(x - 20)$.
 	\end{enumerate}
\item Compléter le tableau figurant en \textbf{annexe 2, à rendre avec la copie}, qui donne le signe de la dérivée $f'$ et les variations de $f$.
\end{enumerate}
 
\newpage
 \begin{center}
 
\textbf{\large Annexe 1 à rendre avec la copie}
 
\medskip

\begin{flushleft}\textbf{Exercice 1 : Tableau d'effectifs}
\end{flushleft}

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
&Inscrits à la visite de la fromagerie&Non inscrits à la visite de la fromagerie&
Total\\ \hline
Inscrits à la visite du musée&&&\\ \hline
Non inscrits à la visite du musée&&&\\ \hline
Total &30 &&80\\ \hline
\end{tabularx}

\bigskip

\begin{flushleft}\textbf{Exercice 2 : Graphique}\end{flushleft}

\medskip

\psset{xunit=1.25cm,yunit=0.015cm}
\begin{pspicture}(-1,-25)(9,900)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Oy=3250,Dy=5000]{->}(0,0)(0,0)(9,850)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Oy=3250,Dy=5000](0,0)(0,0)(9,850)
\multido{\n=0+50,\na=3250+50}{18}{\uput[l](0,\n){\np{\na}}}
\multido{\n=0.0+0.5}{19}{\psline[linewidth=0.2pt](\n,0)(\n,850)}
\multido{\n=0+1}{10}{\psline[linewidth=0.5pt](\n,0)(\n,850)}
\multido{\n=0+10}{86}{\psline[linewidth=0.2pt](0,\n)(9,\n)}
\multido{\n=0+50}{18}{\psline[linewidth=0.5pt](0,\n)(9,\n)}
\uput[r](0,880){Nombre de donneurs recensés}
\uput[d](8,-40){Rang de l'année}
\end{pspicture}

\newpage

\textbf{\large Annexe 2 à rendre avec la copie}

\medskip

\begin{flushleft}\textbf{Exercice 3 : Courbe du nombre de cas de grippe pour \np{100000} habitants}\end{flushleft}

\psset{xunit=0.8cm,yunit=0.032cm}
\begin{pspicture}(-1,-25)(16,425)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=25]{->}(0,0)(0,0)(16,425)
\multido{\n=0.0+0.5}{31}{\psline[linewidth=0.2pt](\n,0)(\n,425)}
\multido{\n=0+1}{16}{\psline[linewidth=0.5pt](\n,0)(\n,425)}
\multido{\n=0+5}{86}{\psline[linewidth=0.2pt](0,\n)(16,\n)}
\multido{\n=0+25}{18}{\psline[linewidth=0.5pt](0,\n)(16,\n)}
\uput[r](0,420){Nombre de cas pour \np{100000} habitants}
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{7}{15}{x 3 exp 1.3 mul  x dup mul 58.5 mul sub 780 x mul add 2850 sub}
\uput[d](13.7,-12){Temps écoulé en semaines}
\end{pspicture}

\bigskip

\begin{flushleft}\textbf{Exercice 3 : Tableau de variations}\end{flushleft}

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|X|}\hline
$x$&7 \hfill 15\\ \hline
signe de 3,9&\\ \hline
signe de $x - 10$&\\ \hline
signe de $x - 20$&\\ \hline
signe de $f'(x) = 3,9(x - 10)(x - 20)$&\\ \hline
~&\\
variations de $f$&\\
~&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
\end{document}