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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm} 
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
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\lfoot{\small{Antilles--Guyane}}
\rfoot{\small{juin 2009}}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center}
 {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat ST2S Antilles--Guyane juin 2009~\decofourright}}

\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{ Exercice 1}\hfill 7 points}

\medskip

Une entreprise de produits chimiques fabrique un médicament. Le test de contrôle de qualité de ce médicament porte sur deux points : sa masse et sa teneur en potassium.

\medskip
 
\textbf{Partie A}

\medskip
 
On s'intéresse à la quantité de médicaments rejetés, c'est-à-dire ceux dont la masse ou la teneur en potassium n'est pas correcte, sur le premier semestre de l'année 2008. Les résultats sont consignés dans le tableau ci-dessous :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3.4cm}|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
Mois							&janvier 		&février 	&mars 		&avril 		&mai 	&juin\\ \hline 
Quantité de médicaments rejetés	&875 			&870		&			&			&		& 876\\ \hline 
Taux d'évolution mensuel, 
en pourcentage 					&$\times\times$	&			&+1,2\,\%	&$-1,1$\,\%&		&+1,9\,\%\\ \hline
\multicolumn{7}{c}{\emph{\footnotesize Variations de la quantité de médicaments rejetés sur le premier semestre de l'année 2008}}\\
\end{tabularx}

\medskip

Dans tout ce qui suit, on arrondira les taux d'évolution au millième avant de les exprimer en pourcentage, et les quantités de médicaments à l'unité.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer le taux d'évolution de janvier à février. 
\item Déterminer la quantité de médicaments rejetés en mars. 
\item Déterminer la quantité de médicaments rejetés en mai.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip
 
On s'intéresse maintenant au nombre de médicaments rejetés par cette entreprise ces dernières années.

On sait qu'en 1990 le nombre de médicaments rejetés est de \np{18100}.
 
On constate qu'à partir de cette année-là, le nombre de médicaments rejetés diminue régulièrement de 3\,\% chaque année, et on fait l'hypothèse que cette évolution se poursuivra jusqu'en 2015.
 
On note alors $u_{0} = \np{18100}$ et $u_{n}$ le nombre de médicaments rejetés pendant l'année $(1990 + n)$.

Dans tout ce qui suit les résultats seront arrondis à l'unité. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer $u_{1}$ et $u_{2}$. 
\item Quelle est la nature de la suite $u$ ? En déduire son sens de variation. 
\item
	\begin{enumerate}
		\item Exprimer $u_{n+1}$ en fonction de $u_{n}$.
		\item Exprimer $u_{n}$ en fonction de $n$.
	\end{enumerate}		 
\item
	\begin{enumerate}
		\item Résoudre, pour $x$ réel, l'inéquation $\np{18100} \times  0,97^x \leqslant  \np{9000}$. 
		\item En déduire l'année à partir de laquelle le nombre de médicaments rejetés cette année~là par l'entreprise sera inférieur à \np{9000}. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\pagebreak


\textbf{\textsc{ Exercice 2}\hfill 7 points}

\medskip
 
\textbf{Partie A - Étude de fonction}

\medskip
 
On considère la fonction $f$, définie et dérivable sur l'intervalle [1~;~15], d'expression
 
\[f(t) = \dfrac{\np{1615}}{t} - \dfrac{595}{t^2}\]

Soit $f'$ sa fonction dérivée. On admet que, sur l'intervalle [1~;~15], l'expression de $f'$ est donnée par 

\[f'(t) = \dfrac{\np{1190} - \np{1615}t}{t^3}\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Étudier le signe de $f'(t)$ sur l'intervalle [1~;~15]. 
		\item Dresser le tableau de variations de $f$ sur l'intervalle [1~;~15].
		 
On arrondira les valeurs remarquables à l'unité.
	\end{enumerate} 
\item Recopier et compléter le tableau suivant en arrondissant les résultats à l'unité :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$t$ 	& 1	&2 	&3 		&4 		&5 	&8 		&10	&12	&15\\ \hline 
$f(t)$	&	&	&		&		&	&193	&	&	&\\ \hline 
\end{tabularx}

\medskip
 
On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthogonal du plan.
 
Construire sur la feuille de papier millimétré la courbe $\mathcal{C}$, en prenant comme unités graphiques : 1~cm pour une unité sur l'axe des abscisses, 1~cm pour 100~unités sur l'axe des ordonnées.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B - Application}

\medskip
 
Un patient s'est vu administrer \np{1200}~mg d'un médicament. On admet que la quantité de médicament en mg présente dans le sang du malade au-delà de la première heure est donnée par $f(t)$, avec $t$ en heures.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Estimer graphiquement la quantité de médicament présente dans le sang du patient au bout de 3~h 30~min. 
		\item Vérifier ce résultat par un calcul.
	\end{enumerate} 
\item On estime que ce médicament devient inefficace lorsque la quantité de médicament présente dans le sang est inférieure à 200~mg.
 
Estimer graphiquement le temps au bout duquel il devient inefficace. 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{ Exercice 3}\hfill 6 points}

\medskip
 
Une enquête porte sur des enfants ayant développé des allergies alimentaires.

On s'intéresse aux évènements suivants :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[] $F$ : \og l'enfant est allergique aux fruits secs \fg{};
\item[] $G$ : \og l'enfant est allergique au gluten \fg.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
 
Les résultats conduisent à l'arbre de probabilités suivant :

\begin{center}
\psset{unit=1.4cm}
\pstree[linecolor=blue,treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=3pt]{\TR{}}
{
	\pstree{\TR{$F$~}\taput{0,23 }}
	  { 
		  \TR{$G$}\taput{0,2}
		  \TR{$\overline{G}$}	   
	  }
	\pstree{\TR{$\overline{F}$~}}
	  {
		  \TR{$G$}
		  \TR{$\overline{G}$}	  
	  }
	
}
\end{center}

Les résultats numériques seront arrondis au millième si nécessaire.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Donner la probabilité $p\left(\overline{F}\right)$. 
\item Définir par une phrase l'évènement $F \cap G$ puis calculer $p(F \cap G)$. 
\item On sait qu'un quart des enfants est allergique au gluten, c'est-à-dire que $p(G) = 0,25$.
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que la probabilité que l'enfant ne soit pas allergique aux fruits secs mais au gluten est $0,204$. 
		\item En déduire la probabilité qu'il soit allergique au gluten sachant qu'il n'est pas allergique aux fruits secs.
	\end{enumerate} 
\item L'enquête porte sur un échantillon de \np{8000}~enfants.
 
Reproduire et compléter le tableau d'effectifs théoriques :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}c|}\hline 
Nombre d'enfants &Allergiques au gluten &Non allergiques au gluten &Total\\ \hline 
\begin{tabular}{c}Allergiques aux\\ fruits secs\\ \end{tabular}	&368 		&	&\\ \hline
Non allergiques aux fruits secs									&			&	&\\ \hline 
Total															& \np{2000}	&	&\np{8000}\\ \hline
\end{tabularx} 
\end{enumerate}
\end{document}