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%% Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 2 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat ST2S Antilles-Guyane 12 septembre 2014~\decofourright }}
 \end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill  7 points}

\medskip

Les parties A et B sont indépendantes. 

\medskip

\textbf{Partie A :}

\medskip
 
L'indice de masse corporelle d'une personne (IMC) se calcule grâce à la formule suivante :
 
\[\text{IMC} = \dfrac{\text{Masse}}{\text{(Taille)}^2}\]

dans laquelle la masse est exprimée en kilogramme et la taille en mètre. 
 
On précise qu'une personne est en surpoids si son IMC est supérieur ou égal à 25.

\medskip
 
On a demandé à un groupe de 10~élèves de donner leur masse et leur taille. Les données ont ensuite été consignées dans une feuille automatisée de calcul reproduite ci-dessous: 

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|l|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
					&A 		&B 		&C 		&D 		&E 		&F 		&G&H 	&I 	&J 		&K\\ \hline 
1 &Elève numéro : 	&1 		&2 		&3 		&4 		&5 		&6 		&7 		&8 	&9 		&10\\ \hline 
2 &Masse (en kg) 	&54 	&65 	&64 	&70 	&72 	&61 	&64 	&76 &45 	&78\\ \hline 
3 &Taille (en m) 	&1,73 	&1,84 	&1,65 	&1,62 	&1,70 	&1,74 	&1,86 	&1,57&1,60 &1,71\\ \hline 
4 &IMC 				&18,0 	&19,2 	&23,5 	&26,7 	&24,9 	&20,1 	&18,5 	&30,8&17,6 &26,7\\ \hline
\multicolumn{12}{c}{\footnotesize La ligne 4 est au format nombre avec une décimale.}
\end{tabularx}
\end{center}

\smallskip
 
\begin{enumerate}
\item Quelle formule a été saisie dans la cellule B4 puis recopiée vers la droite jusqu'à la cellule K4 pour calculer l'IMC des 10 élèves ? 
\item Quelle est la proportion d'élèves en surpoids dans ce groupe ? On exprimera le résultat en pourcentage.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B :}

\medskip
 
En 2012, en France, on comptait une proportion d'hommes d'environ 47,5\,\%.
 
Environ 42\,\% des femmes et 54\,\% des hommes étaient en surpoids. (source : rapport OBEPI 2012)
 
On choisit une personne au hasard dans la population française, chaque personne ayant la même probabilité d'être choisie.
 
On désigne par les lettres $F, H$ et $S$ les évènements suivants : 

\setlength\parindent{8mm}
\begin{description}
\item[ ] $F$ : \og la personne choisie est une femme\fg 
\item[ ] $H$ : \og la personne choisie est un homme\fg 
\item[ ] $S$ : \og la personne choisie est en surpoids \fg
\end{description}
\setlength\parindent{0mm}
 
On désigne par $\overline{S}$ l'évènement contraire de l'évènement $S$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Donner la probabilité que la personne choisie soit une femme. On note $P(F)$ cette probabilité. 
		\item Donner la probabilité que la personne choisie soit en surpoids sachant que c'est un homme. On note $P_{H}(S)$ cette probabilité.
	\end{enumerate} 
\item Compléter l'arbre des probabilités donné dans l'annexe, \textbf{à rendre avec la copie}. 
	\begin{enumerate}
		\item Décrire par une phrase l'événement $H \cap S$. 
		\item Calculer sa probabilité.
	\end{enumerate} 
\item Montrer que : $P(S) = 0,477$. 
\item Les évènements $S$ et $H$ sont-ils indépendants ? Justifier la réponse. 
\item Calculer la probabilité de choisir un homme sachant que la personne choisie est en surpoids. On donnera le résultat arrondi à $0,001$ près 
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill  5 points}

\medskip
 
Le tableau ci-dessous donne la population française, hors Mayotte, de l'année 2004 à l'année 2013.

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.75\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
Année& 
Rang de l'année $\left(x_{i}\right)$ &Population $\left(y_{i}\right)$ (en milliers d'habitants)\\ \hline 
2004 &1 &\np{62251}\\ \hline  
2005 &2 &\np{62731} \\ \hline 
2006 &3 &\np{63186}\\ \hline  
2007 &4 &\np{63601} \\ \hline 
2008 &5 &\np{63962} \\ \hline 
2009 &6 &\np{64305}\\ \hline  
2010 &7 &\np{64613}\\ \hline  
2011 &8 &\np{64949}\\ \hline  
2012 &9 &\np{65281}\\ \hline  
2013 &10&\np{65586}\\ \hline
\multicolumn{3}{r}{\footnotesize Source : INSEE (en 2011, 2012 et 2013, les données sont provisoires)} 
\end{tabularx}
\end{center} 
 
On donne, en annexe, le nuage de points $M_{i}\left(x_{i}~;~y_{i}\right)$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que les coordonnées du point moyen $G$ du nuage de points $M_{i}\left(x_{i}~;~y_{i}\right)$ sont (5,5~;~\np{64046,5}), puis placer $G$ sur le graphique en annexe. 
		\item On admet que la droite $D$ de coefficient directeur $364$ passant par le point $G$ constitue un ajustement du nuage de point $M_{i}\left(x_{i}~;~y_{i}\right)$.
		 
Montrer que l'équation réduite de la droite $D$ est : $y = 364x + \np{62044,5}$. 
		\item Tracer la droite $D$ sur le graphique en annexe, à rendre avec la copie.
	\end{enumerate} 
\item En utilisant l'ajustement précédent, déterminer par le calcul, une estimation de la population française hors Mayotte, en 2015. 

\emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même infructueuse sera prise en compte dans l'évaluation.}
 
\item En quelle année, selon l'ajustement de la question 1. b., la population française, hors Mayotte, dépasserait-elle \np{67000} milliers d'habitants ? 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill  8 points}

\medskip
 
Un laboratoire de recherches médicales observe \og in vitro \fg{} la multiplication, par mitose accélérée, d'une cellule cancéreuse. Les chercheurs veulent étudier l'effet du rayonnement d'ondes millimétriques sur les cellules cancéreuses. Après une période de multiplication des cellules, on note $t = 0$, l'instant à partir duquel commence l'exposition au rayonnement d'ondes millimétriques. 

La courbe ci-dessous est la représentation graphique du nombre de cellules cancéreuses depuis le début du rayonnement. 

\begin{center}
\psset{xunit=0.5cm,yunit=0.05cm}
\begin{pspicture}(-1,-10)(24,190)
\multido{\n=0+1}{25}{\psline[linestyle=dashed,linecolor=cyan,dash=3pt 2pt](\n,0)(\n,190)}
\multido{\n=0+10}{20}{\psline[linestyle=dashed,linecolor=cyan,dash=3pt 2pt](0,\n)(24,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=20]{->}(0,0)(24,190)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{23}{20 x mul 69 add x dup mul sub}
\uput[d](19.5,-8){Durée d'exposition en heure}
\uput[u](5,188){Nombre de cellules cancéreuses}
\end{pspicture}
\end{center}

\textbf{Partie A : Étude graphique}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Déterminer le nombre de cellules cancéreuses au début du rayonnement. 
\item Déterminer la durée, approximative, d'exposition au rayonnement pour que le nombre de cellules cancéreuses redevienne celui qu'il était au début de l'exposition. 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Après quelle durée d'exposition le nombre de cellules cancéreuses est-il maximum ? 
		\item Quelle est alors la valeur de ce maximum ?
	\end{enumerate} 
\item Déterminer pendant quelle durée d'exposition le nombre de cellules cancéreuses est supérieur ou égal à 120.
\item Déterminer la durée d'exposition nécessaire pour détruire toutes les cellules cancéreuses.
\end{enumerate} 

\bigskip

\textbf{Partie B : Étude théorique}

\medskip
 
Après observation, les chercheurs conviennent de modéliser l'évolution du nombre de cellules cancéreuses exposées à ce rayonnement par la fonction $f$ définie sur l'intervalle [0~;~23] par
 
\[f(t) = - t^2 + 20t + 69\]

où $t$ est la durée d'exposition et $f(t)$ le nombre de cellules cancéreuses après $t$ heures d'exposition à ce rayonnement.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Calculer $f(15)$ et interpréter le résultat par une phrase dans le contexte de l'exercice. 
\item Calculer $f'(t)$ pour t appartenant à l'intervalle [0~;~23], où $f'$ est la fonction dérivée de la fonction $f$. 
\item Étudier le signe de $f'(t)$ sur l'intervalle [0~;~23]. 
\item Construire le tableau de variations de la fonction $f$ sur l'intervalle [0~;~23]. 
\item En utilisant la question précédente, retrouver les résultats des questions 3. a. et 3. b. de la partie A. 
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\textbf{Annexe (à rendre avec la copie)}

\bigskip
\begin{flushleft}
\textbf{Exercice 1 : question B 2.}
\end{flushleft}

\medskip

\pstree[linecolor=blue,treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=4pt]{\TR{}}
{
	\pstree{\TR{$H$~}\taput{\ldots}}
	  { 
		  \TR{$S$}\taput{0,54}
		  \TR{$\overline{S}$}\tbput{\ldots}	   
	  }
	\pstree{\TR{$F$~}\tbput{0,525}}
	  {
		  \TR{$S$}\taput{\ldots}
		  \TR{$\overline{S}$}\tbput{\ldots}	  
	  }
}
\bigskip

\begin{flushleft}
\textbf{Exercice 2 : question 1.}
\end{flushleft}

\medskip

\psset{xunit=0.8cm,yunit=0.0008cm}
\begin{pspicture}(-2,-500)(13.5,13500)
\multido{\n=0.0+0.5}{28}{\psline[linestyle=dashed,linecolor=cyan,linewidth=0.3pt,dash=3pt 2pt](\n,0)(\n,13500)}
\multido{\n=0+500}{28}{\psline[linestyle=dashed,linecolor=cyan,linewidth=0.3pt,dash=3pt 2pt](0,\n)(13.5,\n)}
\multido{\n=0+2000,\na=58000+2000}{7}{\uput[l](0,\n){\np{\na}}}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Oy=58000,Dy=20000]{->}(0,0)(13.5,13500)
\psdots(1,4251)(2,4731)(3,5186)(4,5601)(5,5962)(6,6305)(7,6613)(8,6949)(9,7281)(10,7586)
\uput[d](12,-500){Rang de l'année}
\uput[u](3,13500){Population en milliers d'habitants}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}