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%tapuscrit : Denis Vergès
%Sujet aimablement communiqué par Nathalie Leroy 
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\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat ST2S}
\lfoot{\small{Nouvelle--Calédonie}}
\rfoot{\small{14 novembre 2013}}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center}
{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat ST2S Nouvelle--Calédonie 14 novembre 2013~\decofourright}}

\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill 6 points}

\medskip
 
Une association s'adresse à une agence de voyage pour organiser un séjour de vacances pour ses 210 adhérents.
 
On constate que, parmi ces adhérents :

\setlength\parindent{25mm} 
\begin{itemize}
\item[ ] 30\,\% ont moins de 40 ans ; 
\item[ ] un tiers souhaite séjourner en Amérique; 
\item[ ] 40\,\% souhaitent séjourner en Europe, et parmi eux, 75\,\% ont plus de 40 ans; 
\item[ ] 47 adhérents âgés de plus de 40 ans souhaitent séjourner en Afrique.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Recopier et compléter le tableau suivant : 

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash \footnotesize}X|}c|}\hline
&Nombre d'adhérents souhaitant séjourner en Europe&
Nombre d'adhérents souhaitant séjourner en Afrique&
Nombre d'adhérents souhaitant séjourner en Amérique&
Total\\ \hline 
Nombre d'adhérents âgés de moins de 40 ans&&&&\\ \hline 
Nombre d'adhérents âgés de plus de 40 ans&&&&\\ \hline 
Total&&&&210\\ \hline 
\end{tabularx}
\end{center}

\emph{Dans les questions suivantes, on donnera les résultats sous forme décimale, arrondis au centième.}

\medskip

 
On choisit au hasard un adhérent de l'association. On suppose que tous les adhérents ont la même probabilité d'être choisis.

\medskip
 
\item Calculer la probabilité de chacun des évènements suivants :
 
$A$ : \og l'adhérent souhaite séjourner en Afrique \fg{} ; 

$B$ : \og l'adhérent est âgé de plus de 40 ans \fg. 
\item Calculer la probabilité de chacun des évènements $A \cap B$ et $A \cup B$. 
\item Calculer la probabilité que l'adhérent souhaite se rendre en Afrique sachant qu'il est âgé de plus de $40$~ ans. 
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 6 points}

\medskip

Le tableau ci-dessous, extrait d'une feuille de tableur, donne l'évolution, depuis 2004, du nombre de pactes civils de solidarité (PACS) conclus en France jusqu'en 2010.
 
La ligne 4 est au format pourcentage.

\begin{center}
\renewcommand\arraystretch{1}
\definecolor{gristab}{gray}{0.80}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|>{\footnotesize}m{3.5cm}|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
&A &B &C &D &E &F &G &H\\ \hline 
1&Année &2004 &2005 &2006 &2007 &2008 &2009 &2010\\ \hline
2&Rang de l'année $x_{i}$& 1 &2 &3 &4 &5 &6 &7\\ \hline 
3&Nombre de PACS $y_{i}$ (en milliers) &40,1& 60,5&77,3 & 102 &146 &174,5&205,6\\ \hline 
4&Taux d'évolution entre 2 années consécutives (en \,\%)& 
\multicolumn{1}{>{\columncolor{gristab}}c|}{\quad}&&&&&&
\\ \hline 
\multicolumn{9}{r}{\footnotesize \emph{Champ: France (non compris Saint-Martin et Saint-Barthélemy).}}\\ 
\multicolumn{9}{r}{\footnotesize \emph{Sources: Institut national de la statistique et des études économiques.}}
\end{tabularx}
\end{center} 
 
\emph{Il n'est pas demandé de compléter le tableau.}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Calculer le taux d'évolution en pourcentage, arrondi à 0,01\,\%, du nombre de PACS entre les années 2004 et 2005. 
\item Quelle formule doit-on saisir en C4 pour vérifier ce résultat et pour obtenir les autres taux d'évolution en faisant une copie vers la droite? 
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Sur une feuille de papier millimétré, représenter le nuage de points de coordonnées $\left(x_{i}~;~y_{i}\right)$, dans un repère orthogonal d'unités graphiques : 
		
1 cm pour une unité sur l'axe des abscisses,

1~cm pour $20$~milliers de PACS sur l'axe des ordonnées. 
		\item Déterminer les coordonnées du point moyen G de ce nuage de points et placer ce point dans le repère précédent. On arrondira chaque coordonnée au centième.
	\end{enumerate} 
\item  
	\begin{enumerate}
		\item On suppose que la droite $\Delta$ d'équation $y = 28,3x + 1,8$ réalise jusqu'en 2015 un ajustement 
affine du nuage de points. Tracer la droite $\Delta$. 
		\item Déterminer graphiquement une estimation du nombre de PACS en 2012. 
		\item Déterminer, par le calcul, l'année au cours de laquelle, le nombre de PACS devrait dépasser \np{300000}.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3}\hfill 8 points}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip
 
Un laborantin souhaite tester l'efficacité d'un médicament M.
 
À l'instant $t = 0$, il injecte à un malade une dose de 2 ml de ce médicament et il étudie la quantité de médicament présent dans le sang au bout de $t$ heures. Il s'aperçoit alors que cette quantité diminue de $12$\,\% par heure.
 
Pour tout entier naturel $n$, on note $u_{n}$ la quantité, en ml, de médicament présent dans le sang au bout de $n$ heures.
 
On a alors $u_{0} = 2$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Calculer $u_{1}$ et $u_{2}$. 
\item Exprimer, pour tout entier naturel $n,\: u_{n+1}$ en fonction de $u_{n}$. 
\item En déduire la nature de la suite $\left(u_{n}\right)$. 
\item Exprimer $u_{n}$ en fonction de $n$. 
\item Calculer la quantité de médicament présent dans le sang au bout de $10$~heures. On arrondira le résultat au centième.
\end{enumerate}
 
\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip
 
On note, dans cette partie, $f(t)$ la quantité de médicament présent dans le sang au bout de $t$ heures, $t$ appartenant à l'intervalle [0~;~24]. La courbe $\mathcal{C}_{f}$ représentative de la fonction $f$ est donnée en \textbf{annexe}.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Déterminer graphiquement une valeur approchée de la quantité de médicament présent dans le sang au bout de 15 heures. 
\item Résoudre graphiquement l'inéquation $f(t) < 0,2$. Interpréter. 
\item On admet que pour tout $t$ appartenant à l'intervalle [0~;~24], $f(t) = 2 \times (0,88)^t$.

Vérifier par le calcul les résultats des questions 1. et 2. 
\end{enumerate}

\newpage
\begin{center}
{\large \textbf{ANNEXE\\ EXERCICE 3}}

\vspace{2cm}

\psset{xunit=0.5cm,yunit=5cm,comma=true}

\begin{pspicture}(-1,-0.2)(25,2.1)
\multido{\n=0+1}{26}{\psline[linewidth=0.3pt,linestyle=dashed,dash=2pt 2pt](\n,0)(\n,2.1)}
\multido{\n=0.0+0.1}{22}{\psline[linewidth=0.3pt,linestyle=dashed,dash=2pt 2pt](0,\n)(25,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=0.1]{->}(0,0)(0,0)(25,2.1)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=0.1](0,0)(0,0)(25,2.1)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=0.1](0,0)(0,0)(25,2.1)
\uput[u](24.5,0){$t$}\uput[l](0,2.07){$y$}
\uput[d](22.5,-0.1){Temps en heure}
\uput[r](0,2.15){Quantité de produit en ml}
\uput[dl](0,0){O}
\psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{24}{0.88 x exp 2 mul}
\end{pspicture} 
\end{center}
\end{document}