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%tapuscrit : Denis Vergès
%Sujet aimablement communiqué par Nathalie Leroy 
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
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\lfoot{\small{Nouvelle--Calédonie}}
\rfoot{\small{16 novembre 2016}}
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\begin{center}
 {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat ST2S Nouvelle--Calédonie 16 novembre 2016 ~\decofourright}}

\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill 6 points}

\medskip

Une enquête a été menée en Europe en 2011 sur les conditions de travail en entreprise.

Les résultats concernent les français sont les suivants :

\begin{itemize}
\item 61\,\% des personnes interrogées considèrent que leur charge de travail est importante;
\item 75\,\% des personnes interrogées sont motivées par leur travail;
\item 43\,\% des personnes interrogées sont motivées et considèrent que leur charge de travail est importante.
\end{itemize}

\medskip

\begin{enumerate}
\item En \textbf{annexe}, qui est à rendre avec la copie, on a commencé à remplir un tableau qui résume les résultats de l'enquête pour un échantillon représentatif de $100$~personnes.

Compléter ce tableau.

\smallskip

On choisit au hasard une personne interrogée dans cette enquête.

On considère les évènements suivants :

\begin{description}
\item[ ] $C$ : \og La personne interrogée pense que sa charge de travail est importante \fg{} ;
\item[ ] $M$ : \og La personne interrogée est motivée par son travail \fg.
\item[ ] On note $\overline{C}$ l'évènement contraire de $C$ et $\overline{M}$ l'évènement contraire de $M$.
\end{description}

\smallskip

\emph{Dans toute la suite, on arrondira si nécessaire, les résultats au millième.}

\smallskip

\item Donner les probabilités des évènements : $C$ et $C \cap \overline{M}$.
\item Calculer la probabilité de $\overline{M}$ sachant $C$, notée $p_{C}\left(\overline{M}\right)$.
\item Montrer que la probabilité de l'évènement $\overline{C} \cup M$, notée $p\left(\overline{C} \cup M\right)$ est égale à $0,82$.
\item L'enquête a été réalisée dans d'autres pays que la France. Ainsi, on a interrogé \np{9145}~européens dont \np{1012} étaient français.

On choisit une personne au hasard parmi ces \np{9145}~européens.
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la probabilité qu'elle soit française ?
		\item Quelle est la probabilité qu'elle soit française et qu'elle soit motivée par son travail ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}


 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 7 points}

\medskip

Le tableau suivant, extrait d'une feuille d'un tableur, donne l'âge moyen d'une femme à
l'accouchement en France métropolitaine depuis 1994.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|>{\small}p{3.2cm}|*{10}{>{\centering \arraybackslash \small}X|}}\hline
	&A &B&C&D&E&F &G &H &I &J&K\\ \hline
1 	&Année $(n)$&1994 &1996 &1998 &2000& 2002&2004&2006&2008& 2010& 2012\\ \hline
2 	&Rang  de l'année $\left(x_i\right)$& 0 &2&4&6&8&10&12&14&16&18\\ \hline
3	&Âge moyen d'une femme à  l'accouchement en France $\left(y_i\right)$&28,8&29,1 &29,3 &29,4& 29,5& 29,6& 29,8& 29,9& 30& 30,1\\ \hline
4&Taux d'évolution, en  pourcentage, par rapport à l'année $(n - 2)$&\multicolumn{1}{>{\columncolor{lightgray}}c|}{\quad}&&&&&&&&&\\ \hline
\multicolumn{12}{r}{\emph{\footnotesize Source : Insee, estimation  de population et statistiques de  l'état-civil}}\\
\end{tabularx}
\end{center}

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer le taux d'évolution de l'âge moyen d'une femme à l'accouchement en France entre 1994 et 1996. Arrondir le résultat à $0,01$\,\%.
\item La ligne 4 est au format pourcentage. Quelle formule peut-on saisir dans la cellule C4 et recopier vers la droite pour compléter la ligne 4 ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Sur la feuille de papier millimétré fournie à  rendre avec la copie, représenter le nuage de points de coordonnées $\left(x_i~;~y_i\right)$ dans un repère orthogonal.
		
On prendra pour unités graphiques :
		
\begin{itemize}
\item 1 cm pour 2 années sur l'axe des abscisses ;
\item 5 cm pour 1 année sur l'axe des ordonnées (on commencera à graduer l'axe des ordonnées à partir de 28).
\end{itemize}
		\item Calculer les coordonnées du point moyen $G$ du nuage de points, puis placer $G$ sur le graphique précédent.
	\end{enumerate}
\item On admet que la droite $(D)$ d'équation $y = 0,068x + 28,938$ est un ajustement affine pertinent du nuage de points $M_i\left(x_i~;~y_i\right)$ et que cet ajustement reste valable jusqu'en 2018.
	\begin{enumerate}
		\item Vérifier que le point $G$ appartient à la droite $(D)$.
		\item Tracer la droite $(D)$ sur le graphique précédent en indiquant les points utilisés.
		\item Calculer une estimation de l'âge moyen à l'accouchement en 2014, selon cet ajustement.
		
Arrondir le résultat au dixième.
		\item Estimer graphiquement à partir de quelle année l'âge moyen à l'accouchement devrait dépasser $30,5$~ans. Laisser les traits apparents sur le graphique.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3}\hfill 7 points}

\medskip

En épidémiologie, on cherche à comprendre comment une maladie se transmet d'un individu à
l'autre afin de prédire les épidémies  et leur évolution dans le temps au sein d'une population.

À l'aide d'un modèle, on va étudier ici l'incidence d'une épidémie sur une population de
\np{5000}~personnes durant 20~jours.

Le principe est de diviser la population en 3 catégories (ou compartiments).

Chaque individu de la population appartient à une seule catégorie à la fois mais il peut changer de catégorie au cours du temps.

La catégorie \textbf{S} désigne l'ensemble des individus \textbf{S}ains (ou susceptibles d'être infectés par la maladie).

La catégorie \textbf{I} désigne l'ensemble de ceux qui sont \textbf{I}nfectés au sein de la population.

La catégorie \textbf{R} désigne l'ensemble de ceux qui sont \textbf{R}établis et ne peuvent plus être infectés.

On suppose qu'un individu guéri est définitivement immunisé.

On a représenté en annexe dans un même repère orthogonal :

\begin{itemize}
\item la courbe $\mathcal{C}_s$ de la fonctions $s$ qui modélise l'évolution du nombre d'individus de la catégorie \textbf{S} en fonction du temps ;
\item la courbe $\mathcal{C}_r$ de la fonction $r$ qui modélise l'évolution du  nombre d'individus de la catégorie \textbf{R} en fonction du temps.
\end{itemize}

\begin{center}\emph{Les parties {\rm A} et {\rm B} sont indépendantes.}\end{center}

\textbf{Partie A}

\medskip

%Avec la précision permise par le graphique et en laissant apparents les traits de construction, répondre aux questions suivantes :

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Combien y a-t-il d'individus sains et d'individus rétablis au bout de 5 jours ? Arrondir le nombre de personnes à la centaine.
		\item Sachant que chaque individu de la population appartient à une des 3 catégories, en déduire le nombre de personnes infectées au bout de 5 jours d'après ce modèle.
	\end{enumerate}
\item Indiquer au  bout de combien de jours il y a davantage d'individus rétablis que d'individus sains.
	
Indiquer alors le nombre d'individus rétablis.
\item Au bout de combien de jours le nombre de personnes saines est-il inférieur à $20$\,\% de la population ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Dans cette partie, on considère la fonction $i$ définie sur l'intervalle [0~;~15] par :

\[i(t) = - 4t^3 + 60t^2.\]

On admet que $i(t)$ représente le nombre d'individus infectés par cette maladie dans la population donnée au bout de $t$ jours (avec $0 \leqslant t  \leqslant 15$).

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer $i(5)$. Faire le lien avec la question 1. de la partie A.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item La fonction $i$ est dérivable sur l'intervalle [0~;~15] et l'on note $i'$ sa fonction dérivée.
		
Montrer que $i'(t) = 12t(- t + 10)$.
		\item Reproduire et compléter le tableau de signes ci-dessous : 
		
\begin{center}
\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|X|p{4.5cm}|}\hline
$t$&0 \hfill 15\\ \hline
Signe de $2t$&\\ \hline
Signe de $-t + 10$&\\ \hline
Signe de $12t(- t + 10)$&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
		\item En déduire le tableau de variation de la fonction $i$ sur l'intervalle [0~;~15].
 	\end{enumerate}
\item Combien de personnes sont-elles infectées par la maladie au plus fort de l'épidémie ? Justifier la réponse.
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}

\textbf{ANNEXE}

\textbf{À rendre avec  la copie}

\textbf{EXERCICE 1}

\bigskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{3}{>{\small\centering \arraybackslash}X|}c|}\hline
\small Sur un échantillon représentatif de
 100 personnes, nombre de personnes 
 interrogées qui 							&considèrent que leur charge de travail est 			importante									&considèrent que leur  charge de travail  n'est pas importante									&Total\\ \hline
sont motivées par leur travail				&	&	&\\ \hline
ne sont pas motivées par leur travail		&	&	&\\ \hline
Total 										&61	&	&100\\ \hline
\end{tabularx}

\vspace{2cm}

\textbf{EXERCICE 3}

\vspace{1cm}

\psset{xunit=0.55cm,yunit=0.0022cm}
\begin{pspicture}(-1,-250)(20.5,5250)
\multido{\n=0+1}{21}{\psline[linestyle=dashed,linewidth=0.2pt](\n,0)(\n,5000)}
\multido{\n=0+500}{11}{\psline[linestyle=dashed,linewidth=0.2pt](0,\n)(20.5,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=500]{->}(0,0)(0,0)(20.5,5250)
\uput[r](0,5200){Nombre d'individus}
\pscurve[linewidth=1.25pt,linecolor=blue](0,5000)(1,4940)(2,4750)(3,4440)(4,4000)(5,3500)(6,2960)(7,2500)(8,2000)(9,1540)(10,1180)(11,870)(12,650)(13,470)(14,300)(15,210)
\psline[linewidth=1.25pt,linecolor=blue](15,210)(20,210)\uput[d](1.5,4850){\blue $\mathcal{C}_s$}
\pscurve[linewidth=1.25pt,linecolor=cyan](0,0)(1,10)(2,80)(3,180)(4,330)(5,500)(6,700)(7,920)(8,1190)(9,1470)(10,1820)(11,2200)(12,2690)(13,3280)(14,3890)(15,4850)
\psline[linewidth=1.25pt,linecolor=cyan](15,4850)(20,4850)\uput[u](1.5,100){\cyan $\mathcal{C}_r$}
\uput[d](17.5,-180){Nombre de jours}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}