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%Merci à Frédéric Jaëck
%Tapuscrit : François Hache
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\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\renewcommand{\i}{\mathrm{\,i\,}}%    le i des complexes
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\begin{document}

\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat ST2S}
\lfoot{\small{Nouvelle Calédonie}}
\rfoot{\small{novembre 2018}}
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\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}.  M. E. P{}.}}}
\begin{center}
{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat ST2S -- Nouvelle Calédonie~\decofourright\\[7pt]
Novembre 2018}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 6 points}

\bigskip

Des études statistiques ont prouvé que 4\,\% de la population d'un pays est atteinte par une certaine maladie.

Pour cette maladie, un laboratoire pharmaceutique élabore un nouveau test de dépistage.

\begin{list}{\textbullet}{Les essais sur un groupe témoin ont donné les résultats suivants:}
\item 4\,\% des individus du groupe témoin sont atteints par la maladie;
\item 85\,\% des personnes atteintes par la maladie réagissent positivement au test;
\item 99\,\% des personnes non atteintes par la maladie réagissent négativement au test.
\end{list}

On choisit au hasard un individu dans le groupe témoin; on admet que chaque individu a la même probabilité d'être choisi.

Pour tout évènement $E$, on note $\overline{E}$ l'évènement contraire de $E$.

Si $F$ est un évènement de probabilité non nulle, la probabilité de $E$ sachant $F$ est notée $P_{F}(E)$.

\smallskip

\begin{list}{\textbullet}{On note les évènements suivants:}
\item $M$: \og l'individu choisi est atteint par la maladie \fg{} ;
\item $T$: \og l'individu choisi réagit positivement au test\fg{}.
\end{list}

\begin{enumerate}
\item Déterminer la probabilité de l'évènement $M$.
\item Déterminer la probabilité qu'un individu réagisse positivement au test sachant qu'il est atteint par la maladie.
\item Recopier et compléter l'arbre de probabilité ci-dessous:

\begin{center}
{\bigskip
\psset{treesep=.75cm,levelsep=2cm,nodesepB=4pt, treesep=10mm}
\pstree[treemode=R,nodesepA=0pt]% R pour Right
       {\TR{}}
       {
       \pstree[nodesepA=4pt]{\TR{$M$}\naput{$\cdots$}}
	                        {
	                        \TR{$T$}\naput{$\cdots$}
			                \TR{$\overline{T}$}\nbput{$\cdots$}
	                        }
       \pstree[nodesepA=4pt]{\TR{$\overline{M}$}\nbput{$\cdots$}}
	                        {
	                        \TR{$T$}\naput{$\cdots$}
			                \TR{$\overline{T}$}\nbput{$\cdots$}
	                        }
      }
}
\bigskip
\end{center}

\item Définir par une phrase l'évènement $M\cap T$ puis calculer sa probabilité.
\item Montrer que la probabilité de l'évènement $T$ est égale à $\np{0,0436}$.
\item Calculer la probabilité qu'un individu ne soit pas atteint par la maladie sachant qu'il réagit positivement au test. Arrondir le résultat au centième.
\item Certains organismes de santé autorisent la commercialisation d'un test de dépistage lorsque la probabilité de ne pas être atteint par la maladie sachant que la réaction au test est positive est inférieure à 20\,\%.

Le laboratoire pharmaceutique peut-il espérer, selon ce critère, une commercialisation de son test?
\end{enumerate}

\vspace{0.5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 8 points}

\bigskip

L'Allocation Personnalisée d'Autonomie en établissement (APA en établissement) est une allocation destinée aux personnes âgées de plus de 60 ans en perte d'autonomie et résidant dans un établissement de santé.

Dans cet exercice, on modélise de deux façons différentes l'évolution du montant de l'APA en établissement dans un département français.

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Le tableau suivant donne les montants, en euro, de l'APA en établissement de 2007 à 2015 pour le département considéré:

\begin{center}
{\small
%\setlength{\tabcolsep}{0cm} 
\begin{tabularx}{\linewidth}{|>{\centering \arraybackslash}m{2.5cm}|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}}
\hline
Année & 2007 & 2008 & 2009 & 2010 & 2011 & 2012 & 2013 & 2014 & 2015 \\
\hline
\footnotesize{Rang de l'année $(x_i)$} & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9\\
\hline
{\footnotesize Montant en euro de l'APA en établissement $(y_i)$}
& \np{13504} & \np{14443} & \np{14914}  & \np{15351}  & \np{15751}  & \np{16144}  & \np{16744}  & \np{17190}  & \np{18070}\\
\hline
\end{tabularx}
}

\hfill \emph{Source DREES, enquête aide sociale}

\end{center}

\textbf{En annexe 1}, à rendre avec la copie, on a représenté, dans un repère orthogonal, le nuage de points de coordonnées $(x_i~;~y_i)$ associé à cette série statistique.

\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item Déterminer les coordonnées du point moyen G de ce nuage de points. Arrondir l'ordonnée à l'unité.
\item Placer le point G dans le repère précédent.
\end{enumerate}
\item On admet que la droite $\mathcal{D}$ d'équation $y=516x + \np{13210}$ réalise un bon ajustement affine du nuage de points jusqu'en 2020.
\begin{enumerate}
\item Tracer la droite $\mathcal{D}$ dans le repère précédent. Donner les coordonnées des points choisis pour la tracer.
\item À l'aide de cet ajustement, donner une estimation du montant de l'APA en établissement dans ce département pour l'année 2018.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

On a recopié le tableau précédent dans une feuille de calcul d'un tableur.

\emph{Les cellules de la ligne 4 sont au format pourcentage.}

\begin{center}
\small
\newcommand{\ca}{\centering\arraybackslash}
\begin{tabularx}{\linewidth}{| >{\ca\cellcolor{lightgray}}c|m{2.2cm}|*{10}{>{\ca}X|}}
%%% Attention : nécessite le package colortbl
\hline
\rowcolor{lightgray} & \centering A & B & C & D  & E & F & G & H & I & J\\
\hline
1 & \footnotesize{Année} & 2007 & 2008 & 2009 & 2010 & 2011 & 2012 & 2013 & 2014 & 2015 \\
\hline
2 & \footnotesize{Rang de l'année} & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9\\
\hline
3 & {\footnotesize Montant en euro\newline de l'APA\newline en établissement}
& \np{13504} & \np{14443} & \np{14914}  & \np{15351}  & \np{15751}  & \np{16144}  & \np{16744}  & \np{17190}  & \np{18070}\\
\hline
4 & {\footnotesize Taux d'évolution} \rule[-10pt]{0pt}{25pt}& \cellcolor{gray} &&&&&&&&\\
\hline
\end{tabularx}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Calculer le taux d'évolution du montant de l'APA en établissement dans ce département entre 2014 et 2015. Arrondir le résultat à $0,1\,\%$.
\item Quelle formule doit-on entrer dans la case \texttt{C4} pour obtenir, par recopie vers la droite, les taux d'évolution en pourcentage du montant de l'APA en établissement dans ce département, entre deux années consécutives?
\end{enumerate}

\item On suppose maintenant que le montant de l'APA en établissement dans ce département augmente de $5,1\,\%$ par an après 2015. On décide de modéliser ce montant par une suite numérique $(u_n)$.

Pour tout entier naturel $n$, $u_n$ désigne le montant de l'APA en établissement dans ce département, en euro, pour l'année $(2015+n)$. Ainsi, $u_0 = \np{18070}$.

\begin{enumerate}
\item Calculer $u_1$. Arrondir le résultat à l'unité. Interpréter la valeur de $u_1$ dans le contexte de l'exercice.
\item Donner, sans justification, la nature de la suite $\left(u_n\right)$ et sa raison.
\item Exprimer, pour tout entier naturel $n$, $u_n$ en fonction de $n$.
\end{enumerate}

\item Parmi les deux modèles (l'ajustement affine de la partie A et la suite 
$\left(u_n\right)$ de la partie B), quel est celui qui prévoit le plus haut montant de l'APA en établissement pour l'année 2018?
\end{enumerate}

\vspace{0.5cm}

\textbf{Exercice 3 \hfill 6 points}

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par: $f(t)= - t^3 +3 t^2 + 24 t +28$.

Soit $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$.

\begin{enumerate}
\item Calculer $f'(t)$.
\item Montrer que, pour tout $t$ appartenant à $\R$, $f'(t) = \left (4 - t\right )\left (3t+6\right )$.
\item Étudier le signe de $f'(t)$.
\item En déduire le tableau de variation de la fonction $f$ sur $\R$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Une épidémie de varicelle s'est déclarée dans les crèches d'une commune. On observe son évolution dans le temps.

Un relevé hebdomadaire effectué par le service communal d'hygiène et de santé a permis d'établir le tableau suivant:

\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.3}
\begin{tabularx}{0.85\linewidth}{|m{5cm}|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}
\hline
Nombre de semaines écoulées\newline depuis le début de l'épidémie $(x_i)$
 & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5\\
\hline
Nombre de cas de varicelle $(y_i)$ & 25 & 52 & 82 & 100 & 110 & 97\\
 \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item \textbf{En annexe 2}, à rendre avec la copie, on a représenté, dans un repère orthogonal, une partie de la courbe représentative de la fonction $f$. Dans ce repère, placer les points de coordonnées $(x_i~;~y_i)$ correspondant au relevé ci-dessus.
\item Expliquer en quoi il est pertinent de modéliser le nombre de cas de varicelles au cours du temps par la fonction $f$. Préciser sur quel intervalle. 
\end{enumerate}

\item En utilisant cette modélisation et avec la précision permise par le graphique, déterminer:

\begin{enumerate}
\item le nombre d'enfants atteints par la varicelle au bout de 10 jours (on laissera apparents les traits permettant la lecture);
\item la période durant laquelle le nombre de cas de varicelle est supérieur à 100. Arrondir au jour (on laissera apparents les traits permettant la lecture). 
\end{enumerate}

\item D'après ce modèle, au bout de combien de semaines n'y aura-t-il plus aucun enfant atteint de varicelle dans les crèches de la commune? Justifier la réponse.
\end{enumerate}


\newpage

\begin{center}
\textbf{ANNEXE 1}

\emph{\textbf{À rendre avec la copie}}

\textbf{EXERCICE 2}
\end{center}

\vspace{1cm}

\begin{center}
\psset{unit=0.75cm}
\def\xmin {0}   \def\xmax {16}
\def\ymin {13}   \def\ymax {23}
\begin{pspicture}(-2,11)(\xmax,\ymax)
\psgrid[gridlabels=0, gridcolor=gray,subgriddiv=5](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax) 
\psaxes[ticksize=0pt 2pt, labels=x,linewidth=0pt,labelFontSize=\scriptstyle](0,13)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax) 
\multido{\n=13000+1000,\i=13+1}{11}
{\uput[l](0,\i){\footnotesize\np{\n}}}
\psset{dotstyle=x,dotscale=2.5}
\psdots(1,13.504)(2,14.443)(3,14.914)(4,15.352)(5,15.751)(6,16.144)(7,16.744)(8,17.190)(9,18.070)
\uput[d](8,12.5){\small\textbf{Rang de l'année}}
\uput[l]{90}(-1.2,18){\small\textbf{Montant de l'APA (en €)}}
\end{pspicture}
\end{center}

\newpage

\begin{center}
\textbf{ANNEXE 2}

\emph{\textbf{À rendre avec la copie}}

\textbf{EXERCICE 3}
\end{center}

\bigskip

\begin{center}
\psset{xunit=1cm,yunit=0.1cm}
\def\xmin {-3.5}   \def\xmax {7.5}
\def\ymin {-10}   \def\ymax {125}
\begin{pspicture*}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\psgrid[xunit=1cm,yunit=14cm,gridlabels=0, gridcolor=gray,subgriddiv=7](\xmin,-1)(\xmax,7) 
\psgrid[xunit=4cm,yunit=2cm,gridlabels=0, gridcolor=gray,subgriddiv=4](\xmin,-1)(\xmax,7) 
\psaxes[ticksize=2pt 2pt,Dx=1,Dy=20](0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax) 
\psplot[linecolor=blue]{\xmin}{\xmax}{x x x neg 3 add mul 24 add mul 28 add}
\uput{9pt}[dl](0,0){0}
\uput*[d](4,-4){\textbf{Nombre de semaines}}
\uput*[u](4,113){\textbf{Nombre d'enfants atteints par la varicelle}}
\end{pspicture*}
\end{center}


\end{document}