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%tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat ST2S }
\lfoot{\small{La Réunion}}
\rfoot{\small{juin 2010}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat ST2S La Réunion  juin 2010~\decofourright}}

\end{center}

\vspace{0,5cm}

\emph{Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu'il aura développée. Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{ Exercice 1}\hfill 5 points}

\medskip
 
Une compagnie d'assurance estime que la valeur marchande d'une machine achetée \np{2000}~euros le 1\up{er} janvier 2010 baisse de 18\,\% par an.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Recopier et compléter le tableau suivant en arrondissant au centime d'euro si nécessaire : 

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{1.5cm}|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}c|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Année 			&2010		&2011 	&2012 	&2013 	&2014 	&2015 &2016 &2017 	&2018\\ \hline 
Valeur (en euros)&\np{2000}	& 		&		&		&904,24 &	  &		&		&\\ \hline
\end{tabularx} 

\medskip 

\item Montrer que ces valeurs sont les termes d'une suite géométrique dont on précisera la raison. 
\item On considère la fonction $f$ définie sur [0~;~18] par 

\[f(t) = \np{2000} \times  (0,82)^t.\]
 
On admet que $f$ a les mêmes variations sur [0~;~18] que la fonction qui à $t$ associe $(0, 82)^t$. Quel est le sens de variation de la fonction $f$ sur [0~;~18] ? 
\item Résoudre, par le calcul, l'inéquation : $f(t) \leqslant 500$. 
\item En déduire à partir de quelle année la valeur marchande de la machine est inférieure ou égale au quart de sa valeur initiale. Est-ce cohérent avec le tableau de la question 1 ? 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{ Exercice 2}\hfill 6 points}

\medskip

La feuille de calcul ci-dessous, réalisée à l'aide d'un tableur, donne l'avance ou le retard de l'ensemble des élèves de troisième scolarisés à la rentrée 2007 : 

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|p{2.25cm}|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
 &A			&B	&C&D&E&F&G\\ \hline
1&\multicolumn{7}{|l|}{Avance ou retard des élèves scolarisés en classe de troisième}\\ \hline
2&			&	&&&&&\\ \hline
3&			&	&&&&&\\ \hline
4&&\footnotesize En avance&\footnotesize À l'heure&\footnotesize 1 an de retard&\footnotesize  2 ans et plus de retard&\multicolumn{2}{|c|}{\footnotesize Ensemble}\\ \hline
5&Effectifs	&	&&&&&\\ \hline
6&Filles	&\np{12386}&\np{250340}&\np{109050}&\np{17229}&\np{389005}&\\ \hline
7&Garçons	&\np{12386}&\np{224027}&\np{139003}&\np{20851}&\np{395969}&\\ \hline
8&Ensemble	&\np{24474}&\np{474367}&\np{248053}&\np{38080}&\np{784974}&\\ \hline
9&Proportions en \,\%&&&&&&\\ \hline
10&Filles	&3,2&64,4&28,0&4,4&100,0&\\ \hline
11&Garçons	&3,1&56,6&35,1&5,3&100,0&\\ \hline
12&Ensemble	&3,1&60,4&31,6&4,9&100,0&\\ \hline
13&\multicolumn{7}{|l|}{\footnotesize Champ : France - enseignement public et privé, ministère de l'Éducation Nationale}\\ \hline
14&\multicolumn{7}{|l|}{\footnotesize \emph{Source : ministère de l'Éducation Nationale, Depp.}}\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip
 
Quelle formule a-t-il fallu insérer dans la cellule B12 afin que, recopiée vers la droite jusqu'en E12, elle calcule la proportion en pourcentage d'élèves de troisième en avance, à l'heure ou en retard à partir des effectifs donnés par les trois premières lignes du tableau ?
 
On choisira une seule réponse parmi les quatre proposées ci-dessous.

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} 
\textbf{a.~~} =B8/F8*100 ;	&\textbf{b.~~} =B8/\$F8*100;& \textbf{c.~~} 
=B\$8/F8*100;				& \textbf{d.~~} =B8/F\$8*100\\
\end{tabularx}
\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

On tire au hasard la fiche d'un élève de troisième. Chaque fiche a la même probabilité d'être choisie.

Soit $A$ l'évènement: \og La fiche choisie est celle d'une fille \fg.
 
Soit $B$ l'évènement: \og La fiche choisie est celle d'un élève en retard de deux ans ou plus \fg.

Les résultats seront arrondis au centième.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Calculer les probabilités $p(A)$ et $p(B)$. 
\item Décrire par une phrase l'évènement $A \cap B$. 
\item Calculer $p(A \cap B)$. 
\item Calculer la probabilité de $A$ sachant $B$, notée $p_{B}(A)$. 
\item Sachant que la fiche choisie est celle d'un garçon, quelle est la probabilité qu'il soit en avance d'un an ?
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{ Exercice 3}\hfill 9 points}

\medskip 

\textbf{Partie A}

\medskip
 
Le ministère de la santé charge une agence de publicité de faire une campagne de promotion pour un nouveau remède. Une étude prouve que la fréquence $f(t)$ de personnes connaissant le nom de ce remède après $t$ semaines de publicité est donnée par : 

\[f(t) = \dfrac{3t}{3t + 2} \quad \text{avec}~t \geqslant 0.\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Calculer $f(2)$. 
\item En déduire le pourcentage de personnes qui ignorent le nom de ce remède au bout de deux semaines. 
\item Comment peut-on interpréter la valeur de l'image de $0$ par $f$ ? 
\end{enumerate} 

\bigskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip
 
Une représentation graphique $\mathcal{C}$ de la fonction $f$ sur l'intervalle [0~;~18] est donnée en annexe dans un repère orthogonal.
 
Unités graphiques : 1~cm sur l'axe des abscisses et 10~cm sur l'axe des ordonnées.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item  On admet que $f$ est dérivable sur [0~;~18] et que sa dérivée est donnée par $f'(t) =  \dfrac{6}{(3t + 2)^2}$.
 
Étudier les variations de la fonction $f$ sur [0~;~18]. 
\item Calculer le nombre dérivé de $f$ en $t = 1$. 
\item $T$ est la tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point A d'abscisse 1. Quel est son coefficient directeur ? 
\item Tracer $T$ sur la feuille annexe (à rendre avec la copie). 

\item Tracer les droites $D$ d'équation $y = 0,90$ et $D'$ d'équation $y = 0,95$.
 
Déterminer graphiquement le nombre de semaines de campagne nécessaires pour que 90\,\% de la population connaisse le nom du remède.
 
Combien de semaines sont nécessaires pour passer de 90\,\% à 95\,\% ?
 
On laissera les traits de construction apparents. 
\item Le ministère a décidé d'arrêter la campagne au bout de six semaines. Justifier ce choix. 
\end{enumerate}


\newpage

\begin{flushright}\textbf{Annexe à rendre avec la copie :} Exercice 3
\end{flushright}

\vspace{1.5cm}
 
Représentation graphique $\mathcal{C}$ de la fonction $f$ (exercice 3) :

\psset{xunit=1cm,yunit=10cm}
\rotateleft{
\begin{pspicture}(-0.5,-0.1)(18.5,1.1)
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\end{pspicture}} 
\end{document}