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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat  ST2S }
\lfoot{\small{Métropole -- La Réunion}}
\rfoot{\small{10 septembre 2019}}
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\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat Sciences et Technologies de la Santé et du Social ~\decofourright \\[5pt]Métropole La Réunion  10 septembre 2019}} 
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 6 points}

\medskip

\textbf{PARTIE A: étude d'une fonction}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle [0~;~12] par:

\[f(t) = \dfrac{10}{t + 1}.\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item On admet que la fonction dérivée $f'$ de $f$ est définie sur l'intervalle [0~;~12] par:

\[f'(t) = - \dfrac{10}{(t + 1)^2}.\]


	\begin{enumerate}
		\item Expliquer pourquoi le signe de $f'(t)$ est négatif sur l'intervalle [0~;~12].
		\item Établir le tableau de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle [0~;~12].
		
On précisera dans le tableau les images de $0$ et de $12$ par la fonction $f$.
 	\end{enumerate}
\item  Compléter le tableau de valeurs de la fonction $f$ sur l'\textbf{annexe 1 , à rendre avec la copie.}

\emph{On arrondira si besoin à }$10^{-1}$.
\item Sur l'\textbf{annexe 2, à rendre avec la copie}, tracer la courbe $(C)$ représentative de la fonction $f$.
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Vérifier que $f'(0) = - 10$ et interpréter ce nombre géométriquement.
		\item Sur l'\textbf{annexe 2}, tracer la tangente $(T)$ à la courbe $(C)$ au point d'abscisse $0$.
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PARTIE B : application}

\medskip

Dans le cadre d'une étude, un laboratoire expose une culture de bactéries à des rayons ultraviolets (UV).

Ces rayons ont un effet désinfectant et provoquent la diminution du nombre de bactéries.

On suppose que le nombre (en millions) de bactéries présentes au bout du temps $t$ (exprimé en heures) écoulé depuis le début de l'exposition aux UV est donné par la fonction $f$ définie sur [0~;~12] par:

\[f(t) = \dfrac{10}{t + 1}.\]

On se servira de la partie A pour répondre aux questions suivantes:

\medskip

\begin{enumerate}
\item Utilisation de la fonction $f$.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer le nombre de bactéries présentes au début de l'expérience.
		\item Quel est le temps nécessaire pour que soient éliminées 90\,\% des bactéries présentes au début de l'expérience ? Préciser la méthode utilisée.
	\end{enumerate}
\item Utilisation de la fonction $f'$.
		
On admet que, pour tout réel $t$ de l'intervalle [0~;~12], le nombre dérivé $f'(t)$ correspond à la vitesse d'évolution du nombre de bactéries à l'instant $t$.
		
Comparer les vitesses d'évolution du nombre de bactéries aux instants $0$ et $4$. Auquel de ces deux instants la décroissance est-elle la plus forte ?
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 6 points}

\medskip

Les deux parties de cet exercice peuvent être traitées de manière indépendante.

Le tableau ci-dessous donne le nombre des unions civiles, PACS* ou mariages, enregistrées en France entre 2005 et 2016. (\emph{PACS*. Pacte Civil de Solidarité})

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3cm}|*{12}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Année &2005 &2006 &2007 &2008 &2009 &2010 &2011 &2012 &2013 &2014 &2015 &2016\\ \hline
Rang de l'année&1 &2 &3 &4 &5 &6 &7 &8 &9 &10 &11 &12\\ \hline
Nombre de mariages (en milliers)&283 &274 &273 &265 &251 &252 &237 &246 &239 &241 &236 &233\\ \hline
Nombre de PACS (en milliers)&60 &77 &102 &146 &174 &205 &152 &160 &169 &174 &189 &192\\ \hline
\multicolumn{13}{r}{\scriptsize (d'après INSEE \emph{Mariages et PACS en }2017)}
\end{tabularx}
\end{center}

\bigskip

\textbf{PARTIE A: étude de l'évolution du nombre de mariages}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Sur le graphique donné en \textbf{annexe 3}, à rendre avec la copie, représenter le nuage de points de coordonnées $\left(x_i~;~y_i\right)$ où $x_i$ désigne le rang de l'année et $y_i$ le nombre de mariages.
\item  Calculer les coordonnées du point moyen G. Placer G dans le repère fourni en \textbf{annexe 3}.
\item  On réalise un ajustement affine de ce nuage à l'aide de la droite $\left(d_1\right)$ d'équation:
$y = - 4,4x + 281,1$.

Tracer la droite $\left(d_1\right)$ sur le graphique donné en annexe 3 page 6/6. Indiquer sur la copie les coordonnées des points utilisés.
\item  On suppose que ce modèle d'ajustement reste valable jusqu'en 2025. Déterminer le nombre de
mariages prévisibles en 2020. Préciser la démarche utilisée.
\end{enumerate}
 
\bigskip

\textbf{PARTIE B : comparaison des PACS et mariages}

\medskip

\begin{enumerate}
\item D'après les indications du tableau, calculer la part exprimée en pourcentage, arrondie à 1\,\%, des mariages enregistrés en 2016 par rapport à l'ensemble des unions civiles de cette même année.
\item  On a représenté sur l'\textbf{annexe 3} le nuage de points correspondant aux nombres annuels de PACS à partir de l'année 2011. On a effectué un ajustement affine de ce nuage de points à l'aide de la droite $\left(d_2\right)$ d'équation :
$y = 8,5x + 92$.

On suppose que cet ajustement permet de modéliser jusqu'en 2025 l'évolution du nombre annuel $y$ de PACS en fonction du rang $x$ de l'année.

D'après ce modèle, à partir de quelle année le nombre de PACS sera-t-il supérieur au nombre de mariages ? Expliquer la démarche employée.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 8 points}

\medskip

\emph{Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées de manière indépendante.}

\medskip

Un cabinet d'orthophonie fait le bilan de son activité.

\bigskip

\textbf{PARTIE A : évolution du nombre trimestriel de séances}

\medskip

Dans cette partie, on s'intéresse au nombre de séances d'orthophonie réalisées chaque trimestre au sein du cabinet.

Une feuille de calcul automatisée donne l'évolution du nombre de séances réalisées du premier trimestre 2016 jusqu'au premier trimestre 2018 inclus.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|m{3cm}|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
&A &B &C &D &E &F &G &H &I &J\\ \hline
1 &Année& \multicolumn{4}{|c|}{2016}& \multicolumn{4}{|c|}{2017} &2018\\ \hline
2 &Trimestre &1 &2 &3 &4 &1 &2 &3 &4 &1\\ \hline
3 &Nombre de séances&475 &494 &511 &520 &537 &547 &564 &581 &598\\ \hline
4 &Taux d'évolution entre deux trimestres
consécutifs&\cellcolor{lightgray}&4\,\%&&&&&&&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
\smallskip

Les cellules de la ligne 4, de C4 à J4, sont au format pourcentage.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer le taux d'évolution du nombre de séances entre le deuxième et le troisième trimestre 2016.

Le résultat sera arrondi à 0,1\,\%.
\item Proposer une formule à saisir dans la cellule C4 qui, recopiée vers la droite, permet de calculer le taux d'évolution du nombre de séances réalisées par le cabinet d'orthophonie entre deux trimestres consécutifs.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PARTIE B : modélisation de l'évolution}

\medskip

Dans cette deuxième partie, on considère que, à partir du premier trimestre 2018, le nombre trimestriel de séances d'orthophonie augmentera au rythme de 3\,\% par trimestre.

On modélise, à l'aide d'une suite géométrique $\left(r_n\right)$, le nombre trimestriel de séances réalisées par le cabinet, l'entier $n$ désignant le nombre de trimestres écoulés depuis le début de l'année 2018.

Ainsi $r_1 = 598$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Justifier que la raison de la suite géométrique $\left(r_n\right)$ est égale à $1,03$.
\item  Calculer dans le cadre de cette modélisation le nombre de séances réalisées au cours du premier trimestre 2019.
\item  Résoudre, dans l'ensemble des réels, l'inéquation : $598 \times 1,03^{x-1} \geqslant 800$.
\item  Les orthophonistes estiment qu'ils devront recruter un nouveau collègue lorsque le nombre trimestriel de séances dépassera $800$. Selon ce modèle, déterminer le trimestre et l'année à partir desquels il faudra faire ce recrutement.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PARTIE C }: étude de la nature des prescriptions d'orthophonie

\medskip

Dans cette dernière partie, on étudie, pour l'année 2016, les prescriptions de séances d'orthophonie. On s'intéresse d'une part au type de prescripteur (médecin généraliste ou spécialiste) et d'autre part à la nature de la pathologie traitée selon trois catégories:

\begin{itemize}
\item troubles de l'articulation, de la parole ou du langage;
\item  dyslexie, dysorthographie, dyspraxie ;
\item  autres pathologies.
\end{itemize}

On réalise cette étude sur un échantillon de \np{2000} séances effectuées en 2016.

Il en ressort que :

\begin{itemize}
\item 79,9\,\% des prescriptions ont été effectuées par un médecin généraliste ;
\item  parmi les séances prescrites par un médecin généraliste, la moitié concerne la dyslexie, la dysorthographie ou la dyspraxie ;
\item un tiers des séances prescrites par un médecin spécialiste sont en lien avec les troubles de l'articulation, de la parole ou du langage;
\item  55\,\% des 380 séances associées aux autres pathologies sont prescrites par un médecin spécialiste.
\end{itemize}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Compléter le tableau de l'\textbf{annexe 4}, à rendre avec la copie.
\item On choisit au hasard une séance dans l'échantillon. On définit les évènements suivants:

\setlength\parindent{1cm}
\begin{description}
\item[ ] $T$ : \og la séance concerne un trouble de l'articulation, de la parole ou du langage \fg{} ;
\item[ ] $D$ : \og la séance concerne une dyslexie, une dysorthographie ou une dyspraxie \fg{} ;
\item[ ] $A$ : \og la séance concerne une autre pathologie\fg{} ;
\item[ ] $G$ : \og la séance est prescrite par un médecin généraliste \fg.
\end{description}
\setlength\parindent{0cm}

	\begin{enumerate}
		\item On considère $P_A(G)$. Traduire cette probabilité à l'aide d'une phrase.
		\item Calculer $P_A(G)$.
		\item Les évènements $A$ et $G$ sont-ils indépendants ? Justifier.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\newpage
\begin{center}

\textbf{\large ANNEXE 1}

\medskip

\begin{flushleft}
\textbf{EXERCICE 1 Question 2}\end{flushleft}

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{13}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$t$		&0 	& 0,5 	& 1 &1,5&2 	& 3 & 4 & 5 & 6 &8 	&10 &12\\ \hline
$f(t)$	&	&		&	&	&	&	&	&	&	&	&	&\\ \hline
\end{tabularx}

\bigskip

\textbf{ANNEXE 2}

\medskip

\begin{flushleft}
\textbf{EXERCICE 1 Question 3 -- Question 4 b.}\end{flushleft}

\medskip

\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-0.75,-0.75)(13,14)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,griddots=5](0,0)(13,14)
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(13,14)
\end{pspicture}

\newpage

\textbf{ANNEXE 3}

\medskip

\begin{flushleft}
\textbf{EXERCICE 2 Partie A et partie B}\end{flushleft}

\medskip

\psset{xunit=0.6cm,yunit=0.05cm}
\begin{pspicture}(-0.8,-10)(21,235)
\multido{\n=0.0+0.2}{106}{\psline[linewidth=0.2pt](\n,0)(\n,220)}
\multido{\n=0+1}{21}{\psline[linewidth=0.5pt](\n,0)(\n,220)}
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\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{7}{21}{8.5 x mul 8 sub}
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=1.6](7,52)(8,60)(9,69)(10,74)(11,89)(12,92)
\uput[u](19,0){Rang de l'année}
\uput[r](0,225){Nombre d'unions enregistrées (en milliers)}
\end{pspicture}

\vspace{2cm}

\textbf{\large ANNEXE 4}

\bigskip

\begin{flushleft}
\textbf{EXERCICE 3 Partie C}\end{flushleft}

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{4cm}|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
\diagbox{Catégorie de\\
médecins:}{Pathologies :}& Généralistes &Spécialistes &Total\\ \hline
Troubles de l'articulation, de la parole ou du langage&&&\\ \hline
Dyslexie, dysorthographie, dyspraxie&&&\\ \hline
Autres pathologies &	&&380\\ \hline
Total &		&	&\np{2000}\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
\end{document}