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%Source : merci à G. Depresle
% Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat  Sciences et Technologies de la Santé et du Social (ST2S)}
\lfoot{\small{Métropole--La Réunion}}
\rfoot{\small{6 septembre 2018}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}\textbf{Durée : 2 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat  ST2S  Métropole--La Réunion~\decofourright\\[5pt] 6 septembre 2018}}
 \end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill 6 points}

\medskip

La loi de financement de la Sécurité sociale comprend un objectif national de dépenses
d'assurance maladie, qui est voté chaque année par le Parlement.

\smallskip

Le montant des dépenses d'assurance maladie a été évalué pour l'année 2016 à $185,2$ milliards
d'euros. Le Parlement a voté une croissance de ces dépenses de 2,1\,\% pour l'année 2017.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que le montant des dépenses d'assurance maladie voté pour l'année 2017 est de
189,1 milliards d'euros (à cent millions près).
Pour estimer les montants des années suivantes, on suppose que le Parlement votera chaque
année une augmentation de 2,1\,\% de ces dépenses.

On modélise à l'aide d'une suite $\left(v_n\right)$ le montant, en milliards d'euros, des dépenses
d'assurance maladie voté chaque année. On note $v_0$ le montant voté pour l'année 2016 et $v_n$
le montant voté pour l'année $(2016 + n)$, où $n$ est un entier positif ou nul.

On a ainsi $v_0 = 185,2$.

\parbox{0.49\linewidth}{On veut utiliser la feuille de calcul automatisé
ci-contre afin d'obtenir les valeurs successives de la
suite $\left(v_n\right)$.

\item  Quelle formule peut-on entrer dans la cellule B3 de sorte que, recopiée vers le bas, elle permette
d'afficher les valeurs de la suite $\left(v_n\right)$ ?} \hfill
\parbox{0.49\linewidth}{\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
  &A 	&B\\ \hline
1 &$n$ 	&$v_n$\\ \hline
2 &0 	&$185,2$\\ \hline
3 &1 	&$189,1$\\ \hline
4 &2	&\\ \hline
5 &3	&\\ \hline
\end{tabularx}}

\item  Indiquer sans justification la nature de la suite $\left(v_n\right)$. Donner la valeur de sa raison.
\item  Exprimer $v_n$ en fonction de $n$.
\item  Déterminer une estimation du montant des dépenses d'assurance maladie voté par le
Parlement pour l'année 2020. (Arrondir la valeur à la centaine de millions.)
\item  Résoudre, dans l'ensemble des nombres réels, l'inéquation $185,2 \times 1,021^x \geqslant 210$.
\item  Déterminer, suivant ce modèle, l'année pour laquelle sera voté, pour la première fois, un
montant de dépenses d'assurance maladie supérieur à 210 milliards d'euros.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 8 points}

\medskip

Un laboratoire prévoit de commercialiser un nouveau capteur destiné à améliorer le suivi en
continu de la glycémie des diabétiques.

\smallskip

Ce laboratoire a demandé à un service hospitalier de proposer ce capteur à plusieurs patients
afin de déterminer son influence sur l'équilibre du diabète.

Les deux parties de cet exercice peuvent être traitées de manière indépendante.

\medskip

\textbf{Partie A :} \emph{Influence du capteur}

\medskip

À la fin de l'évaluation par le service hospitalier, l'étude de l'ensemble des dossiers des patients
diabétiques a permis d'établir que:

\setlength\parindent{6mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$]65\,\% des patients ont un diabète équilibré;
\item[$\bullet~~$] parmi les patients qui ont un diabète équilibré, 26\,\% étaient équipés du capteur de
glycémie en continu ;
\item[$\bullet~~$] parmi les patients qui ont un diabète déséquilibré, 12\,\% étaient équipés du capteur de
glycémie en continu.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

On choisit au hasard le dossier d'un patient et on considère les évènements suivants :

\setlength\parindent{6mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] $E$: \og le dossier est celui d'un patient dont le diabète est équilibré \fg{} ;
\item[$\bullet~~$] $\overline{E}$: \og le dossier est celui d'un patient dont le diabète est déséquilibré \fg{} ;
\item[$\bullet~~$] $C$: \og le dossier est celui d'un patient équipé du capteur de glycémie en continu \fg{} ;
\item[$\bullet~~$] $\overline{C}$: \og le dossier est celui d'un patient non équipé du capteur de glycémie en continu \fg.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer la probabilité de l'évènement $E$, notée $p(E)$.
\item Déterminer la probabilité de $P_E(C)$, probabilité de $C$ sachant $E$.
\item Recopier et compléter l'arbre pondéré suivant :

\begin{center}
\pstree[treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=3pt]{\TR{}}
{\pstree{\TR{$E$~}\naput{0,65}}
	{\TR{$C$}\naput{\ldots}
	\TR{$\overline{C}$}\nbput{\ldots}
	}
\pstree{\TR{\ldots~}\nbput{\ldots}}
	{\TR{\ldots}\naput{0,12}
	\TR{\ldots}\nbput{\ldots}
	}
}
\end{center}

\item  Les résultats seront arrondis au millième.
	\begin{enumerate}
		\item Décrire par une phrase l'évènement $ E\cap C$. Calculer la probabilité de cet évènement.
		\item Montrer que la valeur de $P(C)$ est égale à $0,211$. Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
		\item En déduire la probabilité que le dossier choisi soit celui d'un patient dont le diabète est
équilibré sachant que celui-ci est équipé du capteur de glycémie en continu.
	\end{enumerate}
\item  L'objectif du laboratoire est que son capteur permette de diviser par deux la probabilité
d'avoir un diabète déséquilibré.

On admet que la probabilité qu'un patient non équipé d'un capteur de glycémie en continu
présente un diabète déséquilibré est environ égale à 39\,\%.

Peut-on considérer que l'objectif du laboratoire est atteint ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B :} \emph{Fiabilité du capteur}

\medskip

Un service hospitalier reçoit six capteurs de glycémie en continu dont il souhaite vérifier la
fiabilité. Il en équipe six patients. Pour chacun d'eux, il effectue un test sanguin qui permet de
mesurer le pourcentage $x$ d'hémoglobine exposée au glucose. 

Ce pourcentage $x$ est comparé à la moyenne $y$ des glycémies mesurées, en mmol$\cdot$L $^{-1}$, par le capteur au cours des trois mois
d'étude. Dans la suite du problème, le nombre $y$ est appelé glycémie moyenne du capteur.

Les résultats sont regroupés dans le tableau suivant:

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{4cm}|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Patients 						&Patient A 	&Patient B 	&Patient C 	&Patient D 	&Patient E 	&Patient F\\ \hline
Valeur du test sanguin (en\,\%) : $x$& 6,4 	&7,8 		&9,3 		&6,9 		&7,3 	&8,3\\ \hline
Glycémie moyenne du capteur
 $\left(\text{en mmol}\cdot\text{L}^{-1}\right)$ : $y$		& 7,6 		&9,8 		&11,1 		&8,2 		&9,2 	&10,7\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

La notice technique du capteur indique que, lorsque le capteur est fiable, les mesures obtenues
sont liées par la relation:

\[y = 1,6x - 2,6.\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item D'après la relation précédente, quelle devrait être la glycémie moyenne d'un capteur fiable
si le test sanguin donne une valeur $x$ égale à $8$ ?
\item  Tracer dans le repère fourni en annexe  (à remettre avec la copie) la droite
d'équation : 

$y = 1,6x - 2,6$. On précisera les coordonnées des points utilisés.
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Placer, dans le repère fourni en annexe, les points qui correspondent aux 6
patients.
		\item Au vu de ces résultats, le service hospitalier pense que l'un des capteurs n'a pas permis
d'obtenir des résultats fiables. Quel patient est concerné par ce problème ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3}\hfill 6 points}

\medskip

Dans un milieu de culture, une population bactérienne évolue en fonction du temps $t$ exprimé
en heures. À l'instant $t = 0$, il y a \np{10000} bactéries dans la culture. À l'instant $t_0$, on y introduit un puissant antibiotique.

Le graphique ci-dessous donne l'évolution du nombre de bactéries (exprimé en dizaines de
milliers) en fonction du temps $t$ (en heures).

\begin{center}
\psset{unit=1.25cm}
\begin{pspicture}(-0.1,-0.15)(8.1,4.5)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=5,gridwidth=0.4pt,subgridwidth=0.2pt](0,0)(8.1,4.4)
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(8.1,4.4)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,)
\pscurve[linewidth=1.25pt,linecolor=blue](0,1)(1,1.62)(2,2.7)(2.5,3.4)(3,3.95)%(3.3,4.05)(4,3.65)
\pscurve[linewidth=1.25pt,linecolor=blue](5,1.55)(6,0.12)(7,0.01)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{3}{5}{6 x mul 5.95 sub x dup mul 0.9 mul sub}
\uput[u](7,0){\footnotesize Temps (en heures)}
\uput[r](0,4.5){\footnotesize Nombre de bactéries}
\uput[r](0,4.2){\footnotesize (en dizaines de milliers)}
\psline[linewidth=1pt]{->}(2.4,0)(2.4,3.3)\uput[d](2.4,0){$t_0$}
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

\emph{Les deux parties de cet exercice peuvent être traitées de manière indépendante.}

\medskip

\textbf{Partie A : Étude graphique}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Remettre les cinq phrases qui suivent dans le bon ordre afin qu'elles décrivent les étapes
successives de l'évolution au cours du temps du nombre de bactéries observées sur le
graphique précédent.

La réponse sera donnée sous la forme d'une suite de cinq lettres, par exemple \og \textbf{a-d-b-c-e} \fg.
	\begin{enumerate}
		\item Le nombre de bactéries augmente de moins en moins vite.
		\item  Le nombre de bactéries diminue de moins en moins vite.
		\item  Le nombre de bactéries diminue de plus en plus vite.
		\item  Le nombre de bactéries augmente de plus en plus vite.
		\item  On introduit la dose d'antibiotique.
	\end{enumerate}
\item Déterminer, avec la précision permise par le graphique (tracer les pointillés nécessaires à
la lecture) :
	\begin{enumerate}
		\item une estimation du nombre de bactéries au moment de l'introduction de l'antibiotique;
		\item  une estimation du nombre maximum de bactéries obtenu dans ce milieu de culture;
		\item  une estimation de l'instant à partir duquel le nombre de bactéries est inférieur à \np{5000}.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
 
\bigskip

\textbf{Partie B : Détermination du nombre maximal de bactéries}

\medskip

Entre 3 h et 5 h après le début de l'étude, le nombre de bactéries (exprimé en dizaines de milliers), est donné en fonction de $t$ (en heures) par :

\[f(t) = - 0,9t^2 + 6t - 5,95.\]


\begin{enumerate}
\item Calculer l'image de $4,5$ par la fonction $f$. Interpréter le résultat obtenu.
\item Calculer $f'(t)$ pour $t$ appartenant à [3~;~5] où $f'$ désigne la fonction dérivée de $f$.
\item Résoudre l'inéquation $f'(t) > 0$ dans l'intervalle [3~;~5].

En déduire que $f$ admet un maximum sur [3~;~5] atteint pour $t = \dfrac{10}{3} = \dfrac{6}{1,8}$.
\item  L'introduction de l'antibiotique a-t-elle permis d'éviter que le nombre de bactéries
n'atteigne \np{40000} ? Justifier.
\end{enumerate}

\newpage
\begin{center}
\textbf{\large Annexe à remettre avec la copie}

\vspace{1cm}

\begin{flushleft}

\textbf{Exercice 2 - Partie B}

\end{flushleft}

\vspace{1.5cm}

\psset{xunit=2.25cm,yunit=1.25cm}
\begin{pspicture}(-0.25,-0.5)(5.5,8.2)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=5,gridwidth=0.4pt,subgridwidth=0.2pt](0,0)(5,8)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Ox=5,Oy=5](0,0)(0,0)(5.5,8.2)
\uput[u](5.1,0){$x$ en \%}
\uput[r](0,7.9){$y$ en mmol$\cdot\text{L}^{-1}$}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}