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% Tapuscrit Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat  ST2S}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{12 septembre  2012}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}\textbf{Durée : 2 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat ST2S Métropole 12 septembre 2012~\decofourright}}

\vspace{0,5cm}

L'usage d'une calculatrice est autorisé.
\end{center}

\medskip

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 7 points}
 
\medskip

\emph{Dans cet exercice, les parties A et B peuvent être traitées de manière indépendante.}

\medskip
 
\textbf{PARTIE A}

\medskip
 
En 2012, une étude a relevé le nombre de décès dus à des accidents domestiques en France durant les dix années précédentes. Ces résultats sont reproduits dans le tableau ci-dessous :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3.25cm}|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
Année 						&2002 	&2003 	&2004 	&2005 	&2006 	&2007 	&2008 	&2009 	&2010 	&2011\\ \hline 
Rang de l'année : $x_{i}$ 	&1 		&2 		&3 		&4 		&5 		&6 		&7 		&8 		&9 		&10\\ \hline  
Nombre de décès en milliers : $y_{i}$ &14,1 &14,2 &15,2 &16,7 &16 &17 &17,8 &18,4 	&19,2 	&18,9\\ \hline 
\end{tabularx}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Représenter, sur papier millimétré, le nuage de points associé à la série $\left(x_{i}~;~y_{i}\right)$ dans un repère orthogonal d'unités graphiques : 1~cm pour une unité sur l'axe des abscisses, 1~cm pour un millier de décès sur l'axe des ordonnées. 

On commencera la graduation à 12~milliers de décès sur l'axe des ordonnées. 
\item Soit $G$ le point moyen du nuage, calculer les coordonnées de $G$.
 
Placer le point $G$ dans le repère précédent.
\end{enumerate}

\medskip
 
Dans la suite du problème, la droite $D$ d'équation $y = 0,5x + 14$ réalise un ajustement affine du nuage de points associé à la série $\left(x_{i}~;~y_{i}\right)$.

\medskip

\begin{enumerate}[resume] 
\item Tracer la droite $D$ dans le repère précédent. 
\item Le point $G$ appartient-il à la droite $D$ ? Justifier votre réponse. 
\item En utilisant cet ajustement affine, combien de décès dus à des accidents domestiques pourrait-on prévoir en 2020 ?
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{PARTIE B}

\medskip

Suite à l'étude précédente, une campagne de prévention pour lutter contre les accidents domestiques a été mise en place. En 2011, il y a eu \np{18900}~décès dus à des accidents domestiques. Grâce à cette campagne de prévention, on prévoit que le nombre de décès diminuera chaque année de 5\,\%.
 
 \medskip
  
\begin{enumerate}
\item Déterminer le nombre de décès dus à des accidents domestiques que l'on peut ainsi prévoir en 2012.
 
On pose $u_{0}$ le nombre de décès dus à des accidents domestiques en 2011, ainsi $u_{0} = \np{18900}$. 

On désigne par l'entier naturel $n$, le nombre d'années écoulées depuis 2011 et par $u_{n}$ le nombre de décès en $2011 + n$. 
\item Justifier que la suite $\left(u_{n}\right)$ est une suite géométrique et que sa raison est $0,95$. 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer $u_{n}$ en fonction de $n$. 
		\item Quelle est l'estimation du nombre de décès dus à des accidents domestiques que l'on peut faire pour l'année 2020 ?
	\end{enumerate} 
\item Quel est le nombre de décès dus à des accidents domestiques entre 2011 et 2020 que l'on peut prévoir ?
 
\emph{On rappelle que la somme des $(n + 1)$ premiers termes d'une suite géométrique $\left(u_{n}\right)$ de premier  terme $u_{0}$ et de raison $q \neq 1$ est donnée par la formule} :

\[u_{0} + u_{1} + \ldots + u_{n} = u_{0} \times\dfrac{1 - q^{n+1}}{1 - q}\]

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 7 points}
 
\medskip

Suite à une augmentation du nombre de personnes malades dans un village, une organisation a mis en place une campagne de vaccination en janvier 2011.

\medskip
 
\textbf{PARTIE A}

\medskip
 
La courbe donnée en annexe 1 (\emph{à remettre avec la copie}) représente le pourcentage de personnes malades en fonction du temps $t$, exprimé en mois, écoulé depuis janvier 2011.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Déterminer graphiquement le pourcentage de malades au début de la campagne de vaccination. 
\item Déterminer graphiquement durant combien de mois le pourcentage de personnes malades sera supérieur ou égal à 40\,\% (on laissera apparents les traits de construction). 
\item Déterminer, graphiquement, au bout de combien de mois après le début de la campagne de vaccination le pourcentage de malades a été maximal. 

Quel était alors ce maximum (\emph{on laissera apparents les traits de construction}) ?
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{PARTIE B}

\medskip
 
Pour prévoir l'évolution de la maladie dans les mois à venir, on modélise le pourcentage de personnes malades en fonction du temps $t$, exprimé en mois, écoulé depuis janvier 2011, par la fonction $p$, définie et dérivable sur l'intervalle [0~;~25] par : 

\[p(t) = - 0,2 t^2 + 4t + 25\]
 
\begin{enumerate}
\item Calculer $p(0)$. 
\item Soit $p^{\prime}$ la fonction dérivée de la fonction $p$ sur l'intervalle [0~;~25].

 Calculer $p^{\prime}(t)$. 
\item Déterminer le signe de $p^{\prime}(t)$ en fonction de $t$ sur l'intervalle [0~;~25].
 
En déduire le tableau de variations de la fonction $p$ sur l'intervalle [0~;~25]. 
\item Reproduire puis compléter le tableau suivant :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
$t$		&17		& 18 	&19 &20 &21 &22 &23 &24 &25\\ \hline 
$p(t)$	&35,2	&		&	&	&	&	&	&	&\\ \hline
\end{tabularx}
\medskip
 
\item Compléter le graphique de l'annexe 1 (\emph{à remettre avec la copie}) en traçant la courbe représentative de la fonction $p$ sur l'intervalle [17~;~25]. 
\item Déterminer l'année et le mois durant lequel la maladie aura disparu du village. 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 6 points}
 
\medskip

Une enquête a été menée sur \np{2000}~bénévoles d'une ville pour connaître les raisons de leur premier engagement dans diverses associations. Les résultats sont présentés dans le tableau ci-dessous et sont classés selon l'âge des bénévoles. 

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{4.5cm}|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
				&Moins de 35 ans&Entre 35 ans et 60 ans&Plus de 60 ans&Total\\ \hline
Mise en pratique de valeurs et de convictions personnelles &99 &209 &235 &543\\ \hline 
Réaction à un problème local 				&75 	&180 	&185 	&440\\ \hline 
Sollicitation par des amis ou un groupe local&130 	&196 	&135 	&461 \\ \hline
Tradition familiale 						&186 	&265 	&105 	&556\\ \hline 
Total 										&490	& 850 	&660	&\np{2000}\\ \hline
\end{tabularx}
\medskip
 
\emph{Dans les questions suivantes, les résultats seront donnés sous forme décimale et arrondis au millième.}

\medskip
 
On choisit au hasard une personne parmi les \np{2000}~bénévoles de l'enquête et on considère les évènements suivants :

\setlength\parindent{6mm}
\begin{description}
\item[ ] $A$ : \og Le bénévole a moins de 35 ans \fg. 
\item[ ] $B$ : \og Le bénévole a entre 35 ans et 60 ans \fg. 
\item[ ] $C$ : \og Le bénévole a plus de 60 ans \fg. 
\item[ ] $S$ : \og Le bénévole s'est engagé après avoir été sollicité par des amis ou un groupe local \fg. 
\item[ ] $T$ : \og Le bénévole s'est engagé par tradition familiale \fg.
\end{description}
\setlength\parindent{0mm}
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la probabilité des évènements $A$ et $S$. 
		\item Décrire avec une phrase les évènements $A \cap S$ et $A \cup  S$. 
		\item Calculer la probabilité de $A \cap S$ et $A \cup  S$. 
		\item Déterminer la probabilité de l'évènement $\overline{T}$.
	\end{enumerate} 
\item On choisit au hasard un bénévole parmi ceux âgés de moins de 35 ans. 

Quelle est la probabilité qu'il se soit engagé en réaction à un problème local ? 
\item Calculer les probabilités conditionnelles $P_{A}(T),\: P_{B}(T)$ et $P_{C}(T)$. 
\end{enumerate}

\newpage
\begin{center}
\textbf{\large Annexe 1\\ 
À remettre avec la copie.}

\vspace{0,5cm}
\begin{flushleft} 
\textbf{Exercice 2} 
\end{flushleft}

\bigskip

\psset{xunit=0.45cm,yunit=0.18cm}
\begin{pspicture}(-1,-2.5)(26,47.5) 
\multido{\n=0.0+0.5}{53}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,47.5)}
\multido{\n=0.00+1.25}{39}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](0,\n)(26,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=2,Dy=5]{->}(0,0)(26,47.5)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=2,Dy=5](0,0)(26,47.5)
\rput(19,-4){Nombre de mois écoulés depuis janvier 2011}
\rput{90}(-2,32.5){Pourcentage de personnes malades}
\psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{17}{4 x mul 25 add x dup mul 0.2 mul sub} 
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}