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%tapuscrit : Denis Vergès
%Sujet aimablement communiqué	 par Roland Thiers 
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{A. P{}. M. E. P{}.}
\lhead{\small Baccalauréat ST2S}
\lfoot{\small{Nouvelle--Calédonie}}
\rfoot{\small{10 novembre 2011}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
 {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat ST2S Nouvelle--Calédonie 10 novembre 2011~\decofourright}}

\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill 6 points}

\medskip

Un laboratoire propose un test de dépistage d'une certaine maladie. Ce test présente les caractéristiques suivantes : 

\setlength\parindent{6mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] la probabilité qu'une personne atteinte de cette maladie ait un test positif est de $0,97$ ; 
\item[$\bullet~~$] la probabilité qu'une personne non atteinte de cette maladie ait un test négatif est de $0,99$.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
 
On souhaite procéder à un dépistage systématique dans une population donnée, au sein de laquelle s'est déclenchée une épidémie.
 
On admet que la proportion de personnes atteintes de la maladie dans cette population est 4\,\%. On choisit une personne au hasard et on note :

\setlength\parindent{6mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] $M$ l'évènement : \og la personne choisie est atteinte de la maladie \fg{} ;
\item[$\bullet~~$] $T$ l'évènement : \og la personne choisie a un test positif \fg{} ;  
\item[$\bullet~~$] $\overline{M}$ et $\overline{T}$ les évènements contraires respectifs des évènements $M$ et $T$.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item \emph{Dans cette question, aucune justification n'est demandée.}
 
Donner les valeurs respectives des probabilités $p(M),\: p_{M}(T)$ et $p_{\overline{M}}\left(\overline{T}\right)$, puis recopier sur la copie et compléter l'arbre de probabilités ci-dessous.

\medskip

\begin{center}
\pstree[linecolor=blue,treemode=R,treenodesize=4pt,nodesepA=0pt,nodesepB=4pt]{\TR{}}
{
	\pstree{\TR{$M$~}}
	  { 
		  \TR{$T$}
		  \TR{$\overline{T}$}	   
	  }
	\pstree{\TR{$\overline{M}$~}}
	  {
		  \TR{$T$}
		  \TR{$\overline{T}$}	  
	  }
	
}
\end{center}

\medskip

\item Définir par une phrase l'évènement $M \cap T$, puis calculer sa probabilité. 
\item On admet que le résultat du test est correct s'il est conforme à l'état de santé de la personne soumise au dépistage. 

Justifier soigneusement l'affirmation suivante : \og la probabilité que le résultat du test soit correct est égale à \np{0,9892} \fg. 
\item \emph{Dans cette question, on arrondira le résultat à $10^{-4}$ près.} 

On appelle valeur prédictive d'un test de dépistage la probabilité qu'une personne présentant un test positif soit atteinte de la maladie. 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $p(T)$. 
		\item En déduire la valeur prédictive de ce test.
	\end{enumerate}
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 7 points}

\medskip

Une maladie est apparue dans un pays au cours de l'année 2007 ; $397$ cas ont été enregistrés au cours de cette année-là.

\medskip
 
On a reproduit ci-dessous une feuille de calcul, réalisée sur un tableur, dans laquelle figurent des informations sur l'évolution du nombre de nouveaux cas diagnostiqués pour la période 2007-2010. 

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|m{3.8cm}|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\cline{2-6}
\multicolumn{1}{c|}{~}	&A						&B		&C		&D		&E\\ \hline
1	&Année					&2007	&2008	&2009	&2010\\ \hline
2	&Nombre de nouveaux cas	&397	&429	&463	&500\\ \hline
3	&Taux d'évolution annuel (à  0,01\,\% près)&\multicolumn{1}{>{\columncolor{lightgray}}c|}{\quad}&8,06\,\%&7,93\,\%&7,99\,\%\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

Les cellules de la ligne 3 sont au format pourcentage.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Combien de nouveaux cas a-t-on recensés entre le 1\up{er} janvier 2007 et le 31 décembre 2010 ? 
\item Quelle formule, entrée en C3 puis recopiée vers la droite jusqu'en E3, a permis d'obtenir les valeurs figurant dans la ligne 3 du tableau ? 

Dans la suite, on considère que, dans l'attente d'un traitement ou d'un vaccin, le nombre de nouveaux cas va continuer à augmenter de 8\,\% par an. On note $u_{0}$ le nombre de nouveaux cas en 2010, $n$ le nombre d'années écoulées depuis 2010 et $u_{n}$ le nombre de nouveaux cas  au cours de l'année $(2010 + n)$.
 
\item Préciser la nature, le premier terme et la raison de la suite $\left(u_{n}\right)$, puis exprimer $u_{n}$ en fonction de $n$. 
\item Quelle estimation du nombre (arrondi à l'unité) de nouveaux cas peut-on faire pour l'année 2020 si la progression se poursuit au même rythme ? 
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Résoudre dans $\R$ l'inéquation $1,08^x \geqslant 3$. 
		\item En quelle année peut-on estimer que le nombre de nouveaux cas dépassera \np{1500} ? 

\medskip

\emph{Toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même infructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.} 
	\end{enumerate}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $\displaystyle\sum_{n=1}^{11} u_{n} = u_{1} + u_{2} + \cdots + u_{11}$ (voir formulaire ci-après). 
		\item En déduire une estimation du nombre total (arrondi à l'unité) de personnes qui auront contracté la maladie au cours des quinze années suivant son apparition (c'est-à-dire des années 2007 à 2021).
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
 
\textbf{Formulaire :}
 
\textbf{La somme de \boldmath$p$\unboldmath\: termes consécutifs d'une suite géométrique \boldmath$\left(u_{n}\right)$\unboldmath, de raison \boldmath$q$\unboldmath\: différente de \boldmath$1$\unboldmath, se calcule de la manière suivante : }

\boldmath
\[ \sum_{n=1}^{p} u_{n} = u_{1} + u_{2} + \cdots + u_{p} = u_{1}\times \dfrac{1 - q^p}{1 - q}\]
\unboldmath

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3}\hfill 7 points}

\medskip

Dans un milieu de culture, une population bactérienne évolue en fonction du temps.
 
Au début de l'étude, il y a \np{10000}~bactéries dans la culture. Au bout de 3 heures, on y introduit un puissant antibiotique.
 
Dans tout l'exercice, $t$ désigne le temps (exprimé en heures) écoulé depuis le début de l'étude.
 
Le graphique ci-dessous donne l'évolution du nombre de bactéries (exprimé en dizaines de milliers) en fonction de $t$. 

\begin{center}
\psset{xunit=1cm,yunit=4cm}
\begin{pspicture}(10,2)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=10]{->}(0,0)(10,2)
\psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{3}{1.2 x exp}
\psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{3}{7.5}{1.2288 x mul 0.576 sub  x dup mul 0.1536 mul sub}
\psline[linestyle=dashed](3,0)(3,1.728)
\uput[d](3,0){3}
\uput[r](0,2){nombre de bactéries (en dizaines de milliers)}
\uput[d](1.5,0){Première phase} \uput[d](5,0){Seconde phase}
\uput[d](9,0){temps (en heures)} 
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

\textbf{Partie A : étude de la première phase - avant introduction de l'antibiotique}

\medskip
 
Au cours de la première phase, le nombre de bactéries (exprimé en dizaines de milliers), est donné en fonction de $t$ par : 

\[f(t) = 1,2^t.\]

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Donner, en justifiant, le sens de variation de $f$ sur l'intervalle [0~;~3]. 
\item Déterminer par le calcul le nombre de bactéries présentes dans la culture au bout d'une heure et demie, puis au bout de trois heures.
 
Les résultats seront arrondis à $10^{-3}$ près. 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B : étude de la seconde phase - après introduction de l'antibiotique}

\medskip
 
Après introduction de l'antibiotique, et tant qu'il reste des bactéries dans la culture, le nombre de celles-ci (exprimé en dizaines de milliers), est donné en fonction de $t$ par :
 
\[g(t) = -\np{0,1536}t^2 + \np{1,2288}t - 0,576.\]

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Calculer l'image de $7,5$ par la fonction $g$ puis interpréter le résultat obtenu. 
\item Calculer $g^{\prime}(t)$ pour $t$ appartenant à [3~;~7,5], où $g^{\prime}$ désigne la fonction dérivée de $g$. 
\item Résoudre l'inéquation $g^{\prime}(t) \geqslant 0$ dans l'intervalle [3~;~7,5]. 

En déduire les variations de $g$ sur [3~;~7,5]. 
\item Que se passe-t-il au cours de la première heure suivant l'introduction de l'antibiotique ? 

Et au cours des trois heures et demie suivantes ? 
\item L'introduction de l'antibiotique a-t-elle permis d'éviter que le nombre de bactéries n'atteigne \np{20000} ? Justifier. 
\end{enumerate}
\end{document}