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%tapuscrit : Denis Vergès
%Sujet aimablement communiqué par Julia Thiers 
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\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat ST2S}
\lfoot{\small{Nouvelle--Calédonie}}
\rfoot{\small{15 novembre 2012}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
 {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat ST2S Nouvelle--Calédonie 15 novembre 2012~\decofourright\\}}

\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill 6 points}

\medskip

Le service d'urologie d'un hôpital comprend trois ailes notées $U_{1}, U_{2}$ et $U_{3}$.
 
Un nombre important de patients atteints de la même pathologie y sont soignés, soit avec un médicament fourni par le laboratoire \emph{LabA}, soit avec un médicament fourni par le laboratoire \emph{LabMédi}. 

Une étude réalisée sur ces patients a montré que : 

\setlength\parindent{6mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] 40\,\% de ces patients sont hospitalisés dans l'aile $U_{1}$, 30\,\% dans l'aile $U_{2}$ et le reste dans l'aile $U_{3}$ ; 
\item[$\bullet~~$] dans l'aile $U_{1}$, 75\,\% des patients atteints de cette pathologie sont soignés avec un médicament du laboratoire \emph{LabA} ; 
\item[$\bullet~~$] dans l'aile $U_{2}$, $\dfrac{4}{5}$ des patients atteints de cette pathologie sont soignés avec un médicament du  laboratoire \emph{LabMédi} ; 
\item[$\bullet~~$] dans l'aile $U_{3}$, 25\,\% des patients atteints de cette pathologie sont soignés avec un médicament du laboratoire \emph{LabMédi}. 
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip

On choisit au hasard dans ce service un patient parmi les patients atteints de cette pathologie. On considère les évènements suivants : 

\setlength\parindent{6mm}
\begin{description}
\item[ ] $U_{1}$ : \og le patient choisi est soigné dans l'aile $U_{1}$. \fg 
\item[ ] $U_{2}$ : \og le patient choisi est soigné dans l'aile $U_{2}$. \fg 
\item[ ] $U_{3}$ : \og le patient choisi est soigné dans l'aile $U_{3}$. \fg 
\item[ ] $A$ : \og le patient choisi prend le médicament du laboratoire \emph{LabA}. \fg 
\item[ ] $M$ : \og le patient choisi prend le médicament du laboratoire \emph{LabMédi}. \fg
\end{description}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Calculer la probabilité de l'évènement $U_{3}$. 
\item On a représenté la situation par un arbre.
 
Recopier et compléter cet arbre.

\begin{center}
\pstree[treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=4pt]{\TR{}}
{\pstree{\TR{$U_{1}$~}}
	{
	\TR{$A$}
	\TR{$M$}
	}
\TR{$U_{2}$~}
\TR{}
}
\end{center}

\item Calculer la probabilité que le patient choisi soit soigné dans l'aile $U_{2}$ et prenne le médicament du laboratoire \emph{LabA}. 
\item Déterminer la probabilité de l'évènement $A$. 
\item Sachant qu'il prend le médicament du laboratoire \emph{LabA}, déterminer la probabilité que le patient choisi soit hospitalisé dans l'aile $U_{2}$. On arrondira le résultat au millième. 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 6 points}

\medskip
 
\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM).\\ 
Pour chacune des questions ci-dessous, une seule des propositions A, B ou C est exacte.\\ 
Indiquer sur votre copie le numéro de la question et la proposition choisie. Aucune justification n'est demandée.\\ 
Une réponse exacte rapporte $1$ point. Une réponse erronée ou une absence de réponse n'ôte pas de point.}

\medskip
 
\textbf{Question 1}

\medskip
 
Voici un nuage composé de 12 points à coordonnées entières : 

\medskip

\parbox{0.6\linewidth}{\psset{unit=0.5cm}
\begin{pspicture}(-1,-1)(13,8)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,linewidth=0.2pt,gridcolor=orange](0,0)(13,8)
\psaxes[linewidth=1.25pt](0,0)(0,0)(13,8)
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=1.2](1,1)(2,3)(3,1)(4,4)(5,2)(6,4)(7,4)(8,6)(9,3)(10,4)(11,6)(12,5)
\end{pspicture}}\hfill
\parbox{0.4\linewidth}{Les coordonnées du point moyen de ce nuage arrondies à 0,01 pr\`es, sont :

\textbf{A} : (3,58~;~6,50)
 
\textbf{B} : (6,50~;~3,50) 

\textbf{C} : (6,50~;~3,58)}

\medskip

\textbf{Question 2}

\medskip

Au cours d'une année le prix d'un médicament a été multiplié par $0,946$. Cela correspond à :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}} 
\textbf{A.} une augmentation de 5,4\,\%& \textbf{B.} une baisse de 5,4\,\%& \textbf{C.} une baisse de 9,46\,\%
\end{tabularx}
\medskip
 
\textbf{Question 3}

\medskip

Si le nombre de donneurs de sang augmentait chaque année de 6\,\% alors le pourcentage de hausse globale au bout de 5 années serait :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}  
\textbf{A.}  environ de $30$\,\%& 
\textbf{B.}  environ de $33,8$\,\%& 
\textbf{C.}  environ de $26,2$\,\%
\end{tabularx}
\medskip 

\textbf{Question 4}

\medskip
La feuille de calcul ci-dessous est utilisée pour calculer les termes d'une suite géométrique $\left(u_{n}\right)$ de premier terme $500$ et de raison $0,96$. 

\medskip

\parbox{0.4\linewidth}{\psset{unit=1cm}
\begin{tabularx}{0.6\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
	&A	&B\\ \hline
1	&$n$&$u_{n}$\\ \hline
2	&0	&500\\ \hline
3	&1	&\\ \hline
4	&2	&\\ \hline
5	&3	&\\ \hline
6	&4	&\\ \hline
7	&5	&\\ \hline
8	&6	&\\ \hline
9	&7	&\\ \hline
\end{tabularx}
\medskip}\hfill
\parbox{0.6\linewidth}{La formule à recopier vers le bas que l'on doit rentrer dans la cellule B3 est :

\textbf{A.}\quad  =500*0,96

\textbf{B.}\quad  =0,96~$\hat{}$~A3

\textbf{C.}\quad  =B2*0,96 }

\textbf{Question 5-a}

\medskip 

La représentation graphique d'une fonction $f$  définie sur $[-3~;~4]$ est donnée ci-dessous :

\medskip

\parbox{0.4\linewidth}{\psset{unit=0.5cm}
\def\pshlabel#1{\footnotesize $#1$} 
\def\psvlabel#1{\footnotesize $#1$} 
\begin{pspicture}(-4,-5)(6,5)
\psgrid[gridlabels=0pt,gridwidth=0.2pt,subgriddiv=1,gridcolor=orange](0,0)(-4,-5)(6,5)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-4,-5)(6,5)
\pscurve(-3,-4)(-2.5,-1.68)(-2,0)(-1,1)(0,0)(0.5,-1)(1,-2.1)(2,-3)(3,-1.55)(4,2)
\psdots(-3,-4)(-2,0)(-1,1)(2,-3)(4,2)
%\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{-3}{4}{x 3 exp 7 mul 30 div x dup mul 2 mul 5 div  sub 49 30 div sub}
\end{pspicture}}
\hfill \parbox{0.5\linewidth}{\psset{unit=1cm} 
Le tableau de signe de la fonction $f^{\prime}$, dérivée de la fonction $f$, est :

\textbf{A} \quad \psset{xunit=1cm,yunit=0.8cm}\begin{pspicture}(4,1.7)
\psframe(4,1.7) \psline(0,1)(4,1) \psline(1,0)(1,1.7)
\uput[u](0.5,1){$x$} \uput[u](1.2,1){$- 3$} \uput[u](2,1){$- 2$} \uput[u](3,1){$0$} \uput[u](3.85,1){$4$}
\rput(0.5,0.5){$f^{\prime}(x)$}\rput(1.5,0.5){$-$}\rput(2,0.5){$0$}\rput(2.5,0.5){$+$}\rput(3,0.5){$0$}\rput(3.5,0.5){$-$} 
\end{pspicture}

\textbf{B} \quad \psset{xunit=1cm,yunit=0.8cm}\begin{pspicture}(4,1.7)
\psframe(4,1.7) \psline(0,1)(4,1) \psline(1,0)(1,1.7)
\uput[u](0.5,1){$x$} \uput[u](1.2,1){$- 3$} \uput[u](2,1){$- 1$} \uput[u](3,1){$2$} \uput[u](3.85,1){$4$}
\rput(0.5,0.5){$f^{\prime}(x)$}\rput(1.5,0.5){$+$}\rput(2,0.5){$0$}\rput(2.5,0.5){$-$}\rput(3,0.5){$0$}\rput(3.5,0.5){$+$} 
\end{pspicture}

\textbf{C} \quad \psset{xunit=1cm,yunit=0.8cm}\begin{pspicture}(4,1.7)
\psframe(4,1.7) \psline(0,1)(4,1) \psline(1,0)(1,1.7)
\uput[u](0.5,1){$x$} \uput[u](1.2,1){$- 3$} \uput[u](2,1){$- 1$} \uput[u](3,1){$2$} \uput[u](3.85,1){$4$}
\rput(0.5,0.5){$f^{\prime}(x)$}\rput(1.5,0.5){$-$}\rput(2,0.5){$0$}\rput(2.5,0.5){$+$}\rput(3,0.5){$0$}\rput(3.5,0.5){$-$} 
\end{pspicture}}

\medskip

\textbf{Question 5-b}

\medskip
 
Pour la fonction $f$ donnée ci-dessus, l'ensemble solution de l'inéquation : $f(x) \leqslant  0$ est :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}  
\textbf{A}~~ $[- 3~;~- 2] \cup [0~;~3,4]$& 
\textbf{B}~~$\{-2~;~0~;~3,4\}$& 
\textbf{C}~~ $[- 4~;~0]$
\end{tabularx} 

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3}\hfill 8 points}

\medskip

On injecte, à l'instant $t = 0$, par piqûre intramusculaire, une dose d'une substance médicamenteuse à un malade. Cette substance diffuse alors progressivement dans le sang, puis est éliminée.
 
Ce processus, étudié pendant les six premières heures après l'injection, est illustré par le graphique donné en annexe.
 
Ce graphique représente la quantité de substance, exprimée en cm3, présente dans le sang du malade à l'instant $t$, exprimé en heures. Cette quantité est donnée par 

\[q(t) = \dfrac{1}{15}\left(t^3 - 15t^2 + 63t\right),\]

où $t$ désigne un nombre réel de l'intervalle [0~;~6].

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer le volume de substance encore présente dans le sang de ce malade, 6 heures après l'injection. 
		\item Sur le graphique donné en \textbf{annexe et à rendre avec la copie}, faire apparaître les traits permettant de vérifier le résultat obtenu au 1. a.
	\end{enumerate} 
\item Lire graphiquement le volume maximal de substance médicamenteuse que l'on peut trouver dans le sang de ce malade. 

Préciser à quel instant ce maximum est atteint. 
\item À partir du graphique, commenter l'évolution de la quantité de la substance médicamenteuse contenue dans le sang. 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Tracer la tangente à la courbe au point d'abscisse $2$, sachant que son coefficient directeur vaut $1$. 
		\item On désigne par $q'$ la fonction dérivée de la fonction $q$.
		 
Que représente $q'(2)$ pour le médicament injecté ? 
	\end{enumerate}
\item La droite (AB) est tangente à la courbe au point A d'abscisse $5$.
 
Déterminer graphiquement le nombre dérivé $q'(5)$. 

Quel est son signe ?
 
Qu'est-ce que cela signifie pour la quantité de substance médicamenteuse dans le sang ? 
\item La substance médicamenteuse est efficace à partir de 4~cm$^3$ présents dans le sang.
 
Déterminer graphiquement, à $0,1$ près, l'instant à partir duquel cette substance médicamenteuse commence à être efficace et celui à partir duquel elle cesse de l'être. 
\end{enumerate}

\newpage
\begin{center}
\textbf{\large Annexe}

\vspace{0,5cm}
 
\emph{à rendre avec la copie}

\vspace{1cm}

\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture*}(-2.1,-1)(9.1,10) 
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.2pt,gridcolor=orange](-1,0)(9,10)
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(0,0)(9,9.99)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\uput[u](8,0){$t$ (en heures)} \uput[r](0,9.2){quantité $\left(\text{en
cm}^3\right)$}
\uput[d](5,4.2){A}\uput[u](1.3,4.2){$C_{q}$}\uput[ur](0,8.3){B}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{6}{x 3 exp x dup mul 15 mul sub 63 x mul add 15 div}
\psplot{-1}{8}{25 3 div  4 x mul 5 div sub}
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45](0,8.333)(5,4.333)
\end{pspicture*} 
\end{center}
\end{document}