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%Tapuscrit : Jean-Claude Souque 
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat  ST2S }
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{18 juin 2019}}
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\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat Sciences et Technologies de la Santé et du Social~\decofourright\\[5pt]Polynésie 18 juin 2019}} 
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\medskip

Un audioprothésiste compte parmi ses clients 75\,\% de personnes âgées de plus de 50
ans. Parmi celles-ci, 80\,\% souffrent de problèmes d’audition aux deux oreilles.
Ce taux chute à 40\,\% parmi les clients de moins de 50 ans.

\smallskip

On choisit au hasard le dossier médical d’un client ; chaque dossier a la même probabilité
d’être choisi.

\smallskip

Pour tout événement $E$, on note $\overline{E}$ l’événement contraire de $E$.
Si $F$ est un événement de probabilité non nulle, la probabilité de $E$ sachant $F$ est notée
  $P_{F}(E)$.
  
On considère les événements suivants :
\begin{itemize}
\item  A : \og le client est âgé de plus de 50 ans \fg{} ;
\item D : \og le client souffre de problèmes auditifs aux deux oreilles \fg.
\end{itemize}
\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item  En utilisant les données fournies par l’énoncé, donner les probabilités $p(A)$ et
   $P_{\overline{A}}(D)$.
\item Recopier et compléter l’arbre pondéré de probabilités qui traduit la situation.

\begin{center}
\psset{nodesepA=0pt,nodesepB=3pt,treesep=0.75,labelsep=0.1pt}
\pstree[treemode=R]{\TR{}}
{\pstree{\TR{$A$~~}\taput{$\dots$}}
	{
	\TR{$D$}\taput{$\dots$}
	\TR{$\overline{D}$}\tbput{$\dots$}
	}
\pstree{\TR{$\overline{A}$~~}\tbput{$\dots$}}
	{\TR{$D$}\taput{$\dots$}
	\TR{$\overline{D}$}\tbput{$\dots$}
	}
}

\end{center}

\end{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item  Calculer la probabilité que le client choisi ait plus de 50 ans et souffre de problèmes
auditifs aux deux oreilles.
\item Montrer que la probabilité que le client choisi souffre de problèmes auditifs aux deux
oreilles est égale à 0,7.
\end{enumerate}
\item Le client choisi ne souffre pas de problème auditif aux deux oreilles. Calculer la
probabilité qu’il soit âgé de plus de 50 ans.
\end{enumerate}


\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill  8 points}

\medskip


Le dioxyde d’azote (NO$_2$) est un polluant indicateur des activités de combustion,
notamment du trafic routier. Pour la protection de la santé humaine, les normes
européennes fixent la valeur limite annuelle d’émission de NO$_2$ à 40 microgrammes par
mètre-cube.

On a reporté dans la feuille de calcul ci-après le nombre (en million) d’habitants d’une
région urbaine potentiellement exposée à un dépassement de la valeur limite annuelle de
NO$_2$ entre 2010 et 2017. Ce dépassement est noté DVLA.

La ligne 4 est au format pourcentage, arrondi à 0,1\,\%.

\smallskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{|>{\columncolor{lightgray}}c|m{3.95cm}|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
\rowcolor{lightgray}&\centering A &B& C&D&E& F& G&H&I \\\hline
1&Année& 2010 &2011& 2012 &2013& 2014 &2015& 2016& 2017\\\hline
2& Rang de l’année $(x_i)$   &0&1& 2& 3& 4 &5& 6&7\\\hline
3&Nombre d’habitants, en
million, exposés à un
DVLA $(y_i)$   & 2,9& 2,7& 2,6& 2,6 &2,4 &1,6 &1,5& 1,3\\\hline
4& Taux d’évolution annuel
(en\,\%)&\cellcolor{lightgray} & $- 6,9\,\%$&&&&&&\\
\hline
\end{tabularx}

\smallskip

\textbf{Partie A}

\vspace{0.25cm}
\begin{enumerate}
\item  Le nombre d’habitants de cette région en 2017 est estimé à 12,2 millions. Calculer la
proportion d’entre eux exposés à un DVLA. Donner le résultat en pourcentage, arrondi
à 0,1\,\%.
\item \begin{enumerate}
\item  Calculer le taux d’évolution global entre 2010 et 2017. Donner le résultat en
pourcentage, arrondi à 0,1\,\%.
\item Quelle formule peut-on saisir dans la cellule C4 qui, recopiée vers la droite, permet
de calculer les taux d’évolution du nombre d’habitants exposés à un DVLA entre deux
années consécutives ?
\end{enumerate}
\end{enumerate}


\vspace{0.25cm}

\textbf{Partie B}

\vspace{0.25cm}


On a représenté dans un repère orthogonal donné en \textbf{annexe}, à rendre avec la copie, le
nuage de points de coordonnées $(x_i ; y_i)$.
\begin{enumerate}
\item  Calculer les coordonnées du point moyen G puis le placer sur le graphique.

\item On admet que la droite $D$ d’équation : $y = - 0,26x + 3,11$ réalise un ajustement affine du
nuage de points jusqu’en 2022.

Estimer l’année au cours de laquelle le nombre d’habitants exposés à un DVLA
deviendra inférieur à \np{500000}. Justifier la réponse et préciser la méthode utilisée.
\end{enumerate}



\vspace{0.25cm}

\textbf{Partie C}

\vspace{0.25cm}

Dans cette partie, on admet qu’à partir de 2015 et jusqu’en 2030 le nombre d’habitants
exposés à un DVLA diminue de 10\,\% par an. On modélise l’évolution du nombre
d’habitants (en million) exposés à un DVLA par les premiers termes d’une suite $(u_n)$. 
Ainsi $u_0 = 1,6$. 
\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item  Justifier que la suite $(u_n)$   est une suite géométrique dont on précisera la raison.
\item Pour tout entier $n$ compris entre 0 et 15, exprimer $u_n$ en fonction de $n$ .
\end{enumerate}
\item Combien d’habitants risquent d’être exposés à un DVLA en 2019 ? Donner le résultat
en million arrondi au dixième.
\item En détaillant la démarche utilisée, et dans le cadre de la modélisation par la suite $(u_n)$,
déterminer l’année à partir de laquelle moins de \np{500 000} habitants de la région seront
exposés à un DVLA.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill  7 points}

\medskip

\textbf{Partie A}

\vspace{0.25cm}

On considère la fonction $f$ définie sur l’intervalle $[0~;~15]$ par : $f(x) = x^3 - 21x^2 +120x + 50$.

On note $f'$ la fonction dérivée de $f$ sur cet intervalle.

\begin{enumerate}
\item  Calculer $f(4)$ et $f(10)$.
\item \begin{enumerate}
\item  Calculer $f'(x)$.
\item Vérifier que pour tout réel $x$ de l’intervalle $[0~;~15]$, on a : $f'(x) = (3x -12)(x -10)$.
\end{enumerate}
\item Étudier le signe de $f'(x)$ sur l’intervalle $[0~;~15]$; pour cela, recopier et compléter le
tableau de signes suivant :

\begin{center}
\psset{unit=0.7cm}
\begin{pspicture}(-1,-0.5)(16,4.5)
\psframe(15,4)
\psline(4.5,0)(4.5,4)\psline(0,3)(15,3)
\psline(0,2)(15,2)\psline(0,1)(15,1)%\psline(0,2)(15,2)
\uput[r](2,3.5){$x$}\uput[r](4.5,3.5){$0$}\uput[l](15,3.5){$15$}
\uput[r](0,2.5){\footnotesize signe de $(3x-12)$}
\uput[r](0,1.5){ \footnotesize signe de $(x-10)$}
\uput[r](0,0.5){\footnotesize signe de $f'(x)$}
\end{pspicture}
\end{center}



\item En déduire le tableau de variation de la fonction $f$ sur l’intervalle $[0~;~15]$.

On précisera dans ce tableau, sans justification, les valeurs remarquables de $f(x)$.
\end{enumerate}
\vspace{0.25cm}

\textbf{Partie B}

\vspace{0.25cm}

Des analyses ont montré que des microalgues étaient naturellement présentes dans l’eau
de mer, avec une concentration normale comprise entre 0 et 100 milligrammes par litre
(mg/L).

Ces microalgues ont tendance à se multiplier lorsque la salinité de l’eau de mer diminue,
et les autorités sanitaires considèrent qu’elles deviennent dangereuses pour la santé
lorsque leur concentration dépasse \np[mg/L]{200}. Il faut alors prendre des mesures comme
l’interdiction de la baignade.

La courbe donnée en \textbf{annexe} modélise l’évolution de la concentration en microalgues de
l’eau de baignade d’une plage du littoral pendant les 10 jours qui ont suivi un très fort
orage.

Il s’agit de la courbe de la fonction $f$ étudiée dans la \textbf{partie A} mais dont l’ensemble de
définition est, dans cette \textbf{partie B}, restreint à l’intervalle $[0~;~10]$.

\medskip

Pour chaque question suivante, justifier la réponse en précisant la méthode utilisée (calcul
ou lecture graphique) et en expliquant la démarche ; pour la lecture graphique, laisser
apparents les pointillés utiles.
\begin{enumerate}
\item  Pendant combien de jours complets la baignade est-elle interdite ?
\item Quelle est la concentration maximale en microalgues durant les 10 jours suivant
l’orage ? Au bout de combien de jours a-t-elle été atteinte ?
\item Peut-on considérer que 10 jours après l’orage, la situation est revenue à la normale ?
\end{enumerate}

\newpage
\begin{center}
\textbf{ANNEXE}

\textbf{À rendre avec la copie}
\end{center}

\textbf{\textsc{Exercice} 2}

\begin{center}
\psset{xunit=1cm,yunit=2cm,labelFontSize=\scriptstyle,comma=true}
\begin{pspicture}(0,-0.4)(12.8,4.2)
\multido{\n=0+1}{12}{\psline[linewidth=0.75pt,linecolor=lightgray](\n,0)(\n,4)}
\multido{\n=0+0.5}{8}{\psline[linewidth=0.75pt,linecolor=lightgray](0,\n)(12,\n)}
\multido{\n=0+0.2}{60}{\psline[linewidth=0.3pt,linecolor=lightgray](\n,0)(\n,4)}
\multido{\n=0+0.1}{41}{\psline[linewidth=0.3pt,linecolor=lightgray](0,\n)(12,\n)}
\psaxes[linewidth=0.95pt,Dy=0.5]{->}(0,0)(12,4)
\psdots[dotstyle=+,dotscale =1.6,dotangle=45](0,2.9)(1,2.7)(2,2.6)(3,2.6)(4,2.4)(5,1.6)(6,1.5)(7,1.3)
\uput[ur](0,4){\scriptsize Nombre de personnes exposées à un DVLA (en million) }
\uput[dl](12,-0.2){\scriptsize Nombre de jours}
\end{pspicture}
\end{center}

\vspace{3cm}

\textbf{\textsc{Exercice} 3}

\medskip

\begin{center}
\psset{xunit=1cm,yunit=0.02cm,labelFontSize=\scriptstyle}
\begin{pspicture}(-1,-25)(12,350)
 \multido{\n=0+1}{11}{\psline[linewidth=0.75pt,linecolor=lightgray](\n,0)(\n,350)}
 \multido{\n=0+50}{8}{\psline[linewidth=0.75pt,linecolor=lightgray](0,\n)(11,\n)}
 \multido{\n=0+0.2}{55}{\psline[linewidth=0.3pt,linecolor=lightgray](\n,0)(\n,350)}
 \multido{\n=0+10}{35}{\psline[linewidth=0.3pt,linecolor=lightgray](0,\n)(11,\n)}
 \psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=50,]{->}(0,0)(11,350)
\def\Func{x x x 21 sub mul 120 add mul 50 add}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{10}{\Func}
\uput[d](10,-25){\footnotesize Nombre de jours}
\uput[dr](7,230){\blue $\displaystyle C$}
 \uput[ur](0,350){\footnotesize Concentration (en mg/L) }
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}