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%tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat ST2S}
\lfoot{\small{Polynésie }}
\rfoot{\small{13 septembre 2012}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat ST2S Polynésie 13 septembre 2012~\decofourright}}

\medskip
 
L'utilisation d'une calculatrice est autorisée
 
Une feuille de papier millimétré, à rendre avec la copie, est fournie au candidat
 
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill 8 points}

\medskip

Une population homogène de bactéries, placée dans un milieu liquide stable donné, se multiplie par divisions successives. On s'intéresse à l'évolution en fonction du temps de la densité bactérienne, c'est-à-dire du nombre de bactéries par unité de volume.

\medskip
 
\textbf{Partie A :}

\medskip
 
Une série de cinq mesures expérimentales a donné les résultats suivants :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{5.2cm}|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
Temps en heures : $x_{i}$					& 0		& 0,5 	&1 	&1,5 	&2\\ \hline 
Densité en millions de bactéries : $y_{i}$	&2,8 	&4,1 	&8,2&14,4 	&27,3\\ \hline 
\end{tabularx}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Sur la feuille de papier millimétré fournie, placer le nuage de points $\left(x_{i}~;~y_{i}\right)$ de la série statistique, dans un repère orthogonal d'origine O, dans lequel 5~cm représentent une~heure en abscisses et 1~cm représente 2~millions de bactéries en ordonnées. 
\item On appelle G le point moyen du nuage. 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer les coordonnées du point G. 
		\item Déterminer une équation de la droite (OG). 
		\item Tracer cette droite dans le repère précédent.
	\end{enumerate}		 
\item La droite (OG) constitue un premier ajustement du nuage.
 
Utiliser cet ajustement pour prévoir la densité bactérienne au bout de 3 heures.
 
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B :}

\medskip 

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle [0~;~2] par 

\[f(x) = \dfrac{5}{2} \times 3,2^x.\]

\smallskip
 
\begin{enumerate}
\item On admet que, sur l'intervalle [0~;~2], la fonction $f$ a le même sens de variation que la fonction $g$ définie par : $g(x) = 3,2^x$.
 
Donner le sens de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle [0~;~2]. 
\item Recopier et compléter le tableau suivant (on arrondira les résultats au dixième). 

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
$x$		& 0	&0,5 	&1 	&1,5 	&2 \\ \hline
$f(x)$	&	&4,5	&	&		&\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip
 
\item Sur la feuille de papier millimétré fournie, dans le même repère que celui utilisé à la question 1. de la \textbf{partie A}, tracer la courbe représentative de la fonction f sur l'intervalle [0; 2] . 
\item La courbe représentative de la fonction $f$ constitue un deuxième ajustement du nuage de points étudié dans la \textbf{partie A}. 

En utilisant ce deuxième ajustement, déterminer par le calcul, la densité bactérienne prévisible au bout de 3 heures.
 
\emph{On donnera le résultat arrondi au dixième.} 
\item Comparer ce résultat à celui obtenu à la partie A.
 
Quel est, à votre avis, l'ajustement le plus pertinent pour la situation donnée ? 
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 7 points}

\medskip
 
On veut vérifier l'efficacité d'un vaccin sur une population donnée. On dispose des données suivantes :
 
\begin{itemize}
\item un quart de la population a été vacciné contre la maladie ;
\item au cours d'une épidémie, on constate que parmi les individus vaccinés, seuls 10\,\% sont malades et parmi les individus non vaccinés, trois individus sur cinq ne sont pas malades.
\end{itemize}

\medskip
 
On choisit au hasard une personne dans cette population.

\medskip
 
On note:
 
$V$ l'évènement \: \og la personne est vaccinée contre la maladie \fg{} et $\overline{V}$ l'évènement contraire de $V$ ;

$M$ l'évènement \:\og la personne est malade \fg{} et $\overline{M}$ l'évènement contraire de $M$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Recopier et compléter l'arbre pondéré ci-dessous représentant la situation étudiée. 

\medskip

\begin{center}
\pstree[linecolor=blue,treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=4pt]{\TR{}}
{
	\pstree{\TR{$V$~}}
	  { 
		  \TR{$M$}
		  \TR{$\overline{M}$}	   
	  }
	\pstree{\TR{$\overline{V}$~}}
	  {
		  \TR{$M$}
		  \TR{$\overline{M}$} 
	  }	
}
\end{center}

\item Donner les valeurs des probabilités $P(V)$ et $P_{V}  M)$. 
\item Calculer les probabilités $P(V \cap M)$ et $P\left(\overline{V}\cap M\right)$.
 
En déduire que la probabilité qu'une personne de la population soit malade vaut $0,325$. 
\item En comparant $P_{\overline{V}}(M)$ à $P_{V}(M)$, que peut-on dire de l'efficacité de ce vaccin ? 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3}\hfill 5 points}

\medskip

\emph{Pour chacune des questions de ce questionnaire à choix multiples, une seule des quatre propositions est exacte.\\ 
Indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie. \\
\textbf{Ne rien inscrire sur le sujet.}\\ 
Chaque réponse correcte rapporte 1 point. Une réponse erronée ou une absence de réponse n'ôte pas de point.}

\medskip
 
L'iode 131 est un produit radioactif. La masse de tout échantillon d'iode 131 diminue régulièrement de 8,3\,\% par jour par désintégration. On dispose d'un échantillon de masse initiale $M_{0} = 100$~g. On note $M_{n}$ la masse de cet échantillon au bout de $n$ jours.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Arrondie au dixième, la masse $M_{2}$ de l'échantillon au bout de 2 jours est :
	\begin{enumerate}
		\item  68,9 g
		\item  83,4 g 
		\item  84,1 g 
		\item  98,3 g 
	\end{enumerate}
\item La suite des nombres $M_{n}$ est une suite :
	\begin{enumerate}
		\item arithmétique de raison 0,917 
		\item géométrique de raison 0,917 
		\item arithmétique de raison 0,083 
		\item géométrique de raison 0,083
	\end{enumerate} 
\item L'expression de $M_{n}$ en fonction de $n$ est:
	\begin{enumerate}
		\item  $M_{n} = 100 + n \times 0,917$ 
		\item  $M_{n} = 100 \times 0,083^n$ 
		\item  $M_{n} = 100 + 0,917^n$ 
		\item  $M_{n} = 100 \times 0,917^n$
	\end{enumerate}		 
\item On veut calculer les masses successives de l'échantillon à l'aide d'un tableur.

\parbox{0.5\linewidth}{ La formule à écrire en B3 pour obtenir, en la recopiant vers le bas, les termes $M_{n}$ de la suite dans la colonne B, est :
	\begin{enumerate}
		\item \og=B2$\star 0,917$ \fg 
		\item \og=$100\star 0,917\hat{\phantom{-}}$A2 \fg 
		\item \og=$100\star 0,917\hat{\phantom{-}}$B2 \fg 
		\item \og=A2$\star 0,917$ \fg
	\end{enumerate}}\hfill
\parbox{0.48\linewidth}{\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
&A&B\\ \hline
1&Rang du jour : $n$&$M_{n}$\\ \hline
2&0&100\\ \hline
3&1&\\ \hline
4&2&\\ \hline
5&3&\\ \hline
6&4&\\ \hline
\end{tabularx}}
			 
\item Les solutions de l'inéquation $M_{n} < 10$ sont les entiers $n$ tels que :  
	\begin{enumerate}
		\item $n > \log\:\dfrac{100}{917}$ 
		\item $n < \dfrac{- 1}{\log 0,917}$ 
		\item $n > \dfrac{- 1}{\log 0,917}$ 
		\item $n > \dfrac{100}{917}$
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}