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%Tapuscrit : Jean-Claude Souque 
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
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\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{septembre 2019}}
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\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat Sciences et Technologies de la Santé et du Social~\decofourright\\[5pt]Polynésie septembre 2019}} 
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 7 points}

\medskip

Un nutritionniste consulte les fiches de ses patients de l'année 2018 qui suivent tous un
régime avec ou sans gluten.
\begin{center}
\emph{Les deux parties du problème sont indépendantes}\end{center}

\smallskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Le nutritionniste fait les trois constats suivants:

\begin{itemize}
\item parmi ses patients, il compte $312$ femmes ce qui représente $60$\,\% de sa patientèle ;
\item $25$\,\% de ses patients suivent un régime sans gluten;
\item parmi ses patients suivant un régime avec gluten, $70$\,\% sont des femmes.
\end{itemize}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que le nombre total de ses patients s'élève à $520$.
		\item En déduire le nombre de patients suivant un régime sans gluten.
		\item Compléter le tableau d'effectifs donné \textbf{en annexe, à rendre avec la copie}.
	\end{enumerate}
\item \emph{Dans les questions suivantes, on exprimera les proportions en pourcentage, et on
arrondira les résultats à }0,1\,\%.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la proportion d'hommes suivant un régime avec gluten dans l'ensemble de
la patientèle.
		\item Calculer la proportion de femmes parmi les patients suivant un régime sans gluten.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Le nutritionniste isole les fiches de ses patients seniors (plus de $60$ ans). Parmi eux,
certains, souffrant de troubles cardio-vasculaires, doivent suivre un régime sans sel.

Il remarque que :

\begin{itemize}
\item parmi ses 200 patients seniors, 96 sont des hommes et 104 sont des femmes;
\item parmi les hommes seniors, 60 suivent un régime sans sel;
\item parmi les femmes seniors, 26 suivent un régime sans sel.
\end{itemize}

Le nutritionniste choisit une fiche au hasard parmi celles des patients seniors. Chaque
fiche a la même probabilité d'être choisie.

Pour tout évènement $A$, on note $P(A)$ sa probabilité et $\overline{A}$ l'évènement contraire de $A$.

Si $B$ est un évènement de probabilité non nulle, la probabilité de $A$ sachant $B$ est notée
$P_B(A)$.

On considère les évènements suivants:

\begin{itemize}
\item $H$ : \og la fiche est celle d'un homme \fg ;
\item $F$ : \og la fiche est celle d'une femme \fg.
\item $R$ : \og la fiche est celle d'un patient senior suivant un régime sans sel \fg.
\end{itemize}

\smallskip

\emph{Dans les questions suivantes, on donnera les valeurs exactes des probabilités demandées.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Vérifier que $P(H) = 0,48$.
		\item Recopier et compléter l'arbre pondéré de probabilités ci-dessous.
		
\begin{center}
		\pstree[treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=1.5pt]{\TR{}}
{\pstree{\TR{$H$~~} \taput{0,48}}
	{\TR{$R$~~}\taput{\ldots}
	\TR{$\overline{R}$}\tbput{\ldots}
    }
\pstree{\TR{$F$~~} \tbput{\ldots}}
	{\TR{$R$}\taput{\ldots}
	\TR{$\overline{R}$}\tbput{\ldots}
	}
}
\end{center}
 	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Décrire par une phrase l'évènement $H \cap R$, puis calculer $P(H \cap R)$.
		\item Montrer que la probabilité de l'évènement $R$ est égale à $0,43$.
		\item Les évènements $R$ et $H$ sont-ils indépendants ? Justifier la réponse.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\medskip

\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM).\\
Pour chaque question, quatre réponses sont proposées parmi lesquelles une seule est
correcte.\\
Indiquer sur la copie le numéro de la question suivi de la réponse choisie. Aucune justification
n'est demandée.\\
Chaque bonne réponse rapporte un point. Aucun point n'est enlevé pour une absence de
réponse ou pour une réponse inexacte.}

\medskip

La courbe $\mathcal{C}$ ci-dessous est la représentation graphique d'une fonction $f$ définie sur
l'intervalle $[-2~;~3]$. La droite $T$ est la tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse 2.

\medskip
\begin{center}
\psset{unit=1.5cm}
\begin{pspicture*}(-3.5,-3.2)(5.1,3)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=5]
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(-3.5,-3.2)(5.1,3)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-2}{3}{x 3 exp 2 div x dup mul sub 1.5 x mul sub 2 add}
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt]{-2}{5}{0.5 x mul 2 sub}
\uput[ul](4.5,0.25){$T$} \uput[l](2.9,1.8){\blue $\mathcal{C}$}
\end{pspicture*}
\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item L'image de 0 par la fonction $f$ est :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}X}
\textbf{a.~~}$0$ &\textbf{b.~~}$1$ &\textbf{c.~~}$2$ &\textbf{d.~~} $2,58$
\end{tabularx}
\end{center}

\item  Par la fonction $f$, le réel 1 admet :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}X}
\textbf{a.~~}un antécédent &\textbf{b.~~} deux antécédents\\
\textbf{c.~~} trois antécédents &\textbf{d.~~}aucun antécédent
\end{tabularx}
\end{center}
\item  L'inéquation $f(x) \leqslant 2$ a pour ensemble de solutions:

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}X}
\textbf{a.~~}$[-2~;~-1]$&\textbf{b.~~} [-1~;~0] &\textbf{c.~~} $[-2~;~-1]\cup [0~;~3]$ &\textbf{d.~~} $\{-1~;~0,3\}$
\end{tabularx}
\end{center}

\item  On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$ sur l'intervalle $[-2~;~3]$. Alors  :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}X}
\textbf{a.~~}$f'(2) = -1$&\textbf{b.~~} $f'(2) = -2$ &\textbf{c.~~} $f'(2) = 0,5$ &\textbf{d.~~} $f'(2) = 4$
\end{tabularx}
\end{center}

\item  La fonction $f$ est définie sur l'intervalle $[-2~;~3]$ par: $f(x) = 0,5x^3 - x^2 - 1,5x + 2$. Alors:

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}X}
\textbf{a.~~}$f'(-2) = 8,5$&\textbf{b.~~} $f'(-2) = 9$ &\textbf{c.~~} $f'(-2) = -3$&\textbf{d.~~} $f'(-2) = 2$
\end{tabularx}
\end{center}

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 8 points}

\medskip

Au sein d'une entreprise de préparation de colis, un médecin du travail répertorie les
maladies et accidents professionnels des salariés survenus depuis 2012.

\medskip

\emph{Les deux parties du problème sont indépendantes}

\medskip

\textbf{Partie A : maladies et accidents professionnels}

\medskip

En regroupant les maladies et accidents professionnels par année, il obtient le tableau
suivant:

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3,5cm}|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
Année 			&2012 		&2013 	&2014 	&2015 	&2016 	&2017 	&2018\\ \hline
Rang 			$\left(x_i\right)$&0 	&1 		&2 		&3 		&4 		&5 	&6\\ \hline
Nombre de maladies
 et accidents 	
 $\left(y_i\right)$	& 243 		&257 	&264 	&277 	&296 	&302 &314\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\textbf{En annexe}, on a représenté, dans un repère orthogonal, le nuage de points de coordonnées
$\left(x_i~;~y_i\right)$ associé à cette série statistique.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer les coordonnées du point moyen G du nuage et placer G dans le repère précédent.
\item On considère la droite $D$ d'équation : $y = 12x + 243$. 

On admet que cette droite réalise un ajustement affine de cette série valable jusqu'en 2025.
	\begin{enumerate}
		\item Tracer la droite $D$ dans le repère \textbf{en annexe}. Indiquer les coordonnées des points
utilisés.
		\item Selon ce modèle, donner une estimation du nombre de maladies et accidents
professionnels en 2022. Justifier la réponse.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B : améliorations des conditions de travail}

\medskip

En fin d'année 2018, la direction a décidé de faire appel à un ergonome, expert en
conditions de travail. Celui-ci étudie l'organisation de l'entreprise, les cadences de travail
et la façon de travailler des salariés. 

Il recommande la mise en place de nouveaux rythmes de travail, des investissements dans des machines pour le transport de charges lourdes et propose un ensemble de bonnes pratiques à respecter. Ces consignes sont mises en application à partir du mois de janvier 2019.

En janvier 2019, on a comptabilisé $26$ maladies et accidents professionnels dans
l'entreprise.

L'ergonome estime que le nombre de maladies et d'accidents professionnels diminuera
chaque mois de 6\,\% à partir de février 2019.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Estimer le nombre de maladies et d'accidents professionnels attendus par l'ergonome
en février 2019. Arrondir le résultat à l'unité.
\item  L'ergonome propose d'estimer le nombre de maladies et d'accidents professionnels
dans les mois à venir à l'aide d'un tableur. Il a commencé à remplir le tableau cidessous.
Les cellules de la ligne 3 sont au format nombre arrondi à l'unité.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|m{3cm}|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
& \centering A &B &C &D &E &F &G &H\\ \hline
1 &Mois &Janvier 2019&Février 2019&Mars 2019&Avril 2019&Mai 2019&Juin 2019&Juillet 2019\\ \hline
2 &Rang du mois &0 &1 &2 &3 &4 &5 &6\\ \hline
3 &Nombre de maladies et d'accidents professionnels&26&&&&&&\\ \hline 
\end{tabularx}
\end{center}

Quelle formule entrée dans la cellule C3, puis recopiée vers la droite, permet d'obtenir
le nombre de maladies et d'accidents professionnels dans l'entreprise dans les mois à
venir ?
\item  On modélise le nombre de maladies et d'accidents professionnels ayant lieu le $n$-ième
mois après janvier 2019 par une suite $\left(u_n\right)$. Ainsi $u_0 = 26$.
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la nature de la suite $\left(u_n\right)$ ? Quelle est sa raison ?
		\item Pour tout entier $n$ , exprimer $u_n$ en fonction de $n$.
		\item Calculer le nombre de maladies et d'accidents professionnels prévisibles en juillet
2019.
	\end{enumerate}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Résoudre dans $\R$ l'inéquation : $26 \times 0,94^x \leqslant 12$.
		\item L'ergonome estime que descendre à $12$ maladies et accidents professionnels par
mois est un bon objectif. 
		
À partir de quel mois et de quelle année cet objectif sera-t-il atteint conformément au modèle ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage
\begin{center}
\textbf{ANNEXE}

\medskip

\textbf{À rendre avec la copie}

\medskip

\textbf{EXERCICE 1}

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Nombre de patients &Femmes &Hommes &Total\\ \hline
qui suivent un régime avec gluten&&&\\ \hline
qui suivent un régime sans gluten&&&\\ \hline
Total &312&& 520\\ \hline
\end{tabularx}

\vspace{2cm}

\textbf{EXERCICE 3}

\vspace{1.2cm}

\psset{xunit=1cm,yunit=0.1cm}
\begin{pspicture}(-1,-8)(11,140)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Oy=240,Dy=10]{->}(0,0)(0,0)(11,140)
\multido{\n=0.0+0.2}{56}{\psline[linewidth=0.2pt](\n,0)(\n,140)}
\multido{\n=0.0+1}{12}{\psline[linewidth=1pt](\n,0)(\n,140)}
\multido{\n=0+2}{71}{\psline[linewidth=0.2pt](0,\n)(11,\n)}
\multido{\n=0+10}{15}{\psline[linewidth=1pt](0,\n)(11,\n)}
\uput[r](0,143){Nombre de maladies et d'accidents}
\uput[d](9.85,-4){Rang du mois}
\psdots[dotstyle=+,dotscale=2,linecolor=blue](0,3)(1,17)(2,24)(3,37)(4,56)(5,62)(6,74)
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}