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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat ST2S }
\lfoot{\small{La Réunion}}
\rfoot{\small{19 juin 2009}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalaurét ST2S La Réunion  juin 2009~\decofourright}}

\end{center}

\vspace{0,5cm}

\emph{Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu'il aura développée. Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{ Exercice 1}\hfill 7 points}

\medskip

Un laboratoire pharmaceutique souhaite tester le temps de réaction d'un nouvel antibiotique contre le bacille de Koch responsable des tuberculoses. Pour cela, on dispose d'une culture de $10^{10}$ bactéries dans laquelle on introduit l'antibiotique. On remarque que le nombre de bactéries est divisé par quatre toutes les heures.

\medskip
 
\textbf{Partie A}

\medskip
 
On a créé la feuille de calcul suivante donnant le nombre de bactéries en fonction du temps $n$ en  heures. 

\medskip

\begin{center}

\begin{tabularx}{0.7\linewidth}{|c|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
		&A 	&B \\ \hline 
	1 	&Nombre d'heures $n$& Nombre de bactéries \\ \hline 
2 	&0	& \np{10000000000}\\ \hline 
3 	&1	& \\ \hline 
4 	&2	& \\ \hline 
5	&3	& \\ \hline 
6 	&4	& \\ \hline 
7 	&5	& \\ \hline 
8 	&6	& \\ \hline 
\end{tabularx}

\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Quelle formule va-t-on entrer dans la cellule B3, pour calculer le nombre de bactéries au bout d'une heure, de sorte qu'en recopiant cette formule vers le bas on puisse compléter les lignes suivantes ? 
\item On a recopié la formule ci-dessus jusqu'en B18. 
	\begin{enumerate}
		\item Quelle formule se trouve en B18 ? 
	\item Que représente concrètement la valeur calculée dans cette cellule ? 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip
 
On note $u_{0}$ le nombre de bactéries au moment de l'introduction de l'antibiotique. Soit $\left(u_{n}\right)_{n \in \N}$, la suite représentant le nombre de bactéries, contenues dans la culture, $n$ heures après l'introduction de l'antibiotique.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Exprimer $u_{n+1}$ en fonction de $u_{n}$· 
\item En déduire que la suite $\left(u_{n}\right)_{n \in \N}$ est une suite géométrique de raison $0,25$. 
\item Exprimer $u_{n}$ en fonction de $n$. 
\item Calculer au bout de combien d'heures le nombre de bactéries deviendra inférieur à 100.
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm}
 
\textbf{\textsc{ Exercice 2}\hfill 8 points}

\medskip

En 2007, une enquête est réalisée sur le lien de cause à effet entre l'état tabagique de la mère pendant la grossesse et les troubles respiratoires de l'enfant. Cette enquête est réalisée sur un échantillon de \np{1500} enfants de 10~ans. Chaque enfant est classé dans un des trois groupes suivants : 

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] les asthmatiques, 
\item[$\bullet~$] ceux présentant des troubles asthmatiformes (considérés comme non-asthmatiques), 
\item[$\bullet~$] ceux sans trouble.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip
 
Le recueil des données étant réalisé sous couvert de l'anonymat auprès de professionnels médicaux, \np{1500}~fiches de renseignements anonymes ont ainsi été créées. Ces fiches indiquent que : 

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] \np{1223}~enfants n'ont aucun trouble. 
\item[$\bullet~$] 4,8\,\% des enfants sont asthmatiques ; 

75\,\% d'entre eux ont une mère ayant fumé pendant la grossesse. 
\item[$\bullet~$] 16\,\% des mères ont fumé pendant la grossesse. 
\item[$\bullet~$] 40\,\% des enfants ayant des allergies asthmatiformes ont une mère n'ayant pas fumé pendant la grossesse.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip
 
Les résultats seront arrondis au millième. 

\medskip

On choisit au hasard une fiche de renseignement d'un enfant. On admet que chacun de ces choix est équiprobable.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Calculer la probabilité que l'enfant soit asthmatique et ait une mère fumeuse. 
		\item  Calculer la probabilité que l'enfant soit asthmatique sachant que sa mère est fumeuse. 
	\end{enumerate}
\item Compléter le tableau à double entrée de l'annexe. 
\item Soient $T$ et $F$ les évènements respectivement définis par \og la fiche indique que l'enfant présente des troubles asthmatiformes \fg{} et \og la fiche indique que la mère a fumé pendant la grossesse \fg. 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la probabilité des évènements $T$ et $F$. 
		\item Définir par une phrase l'évènement $T \cap F$ puis calculer sa probabilité. 
	\end{enumerate}
\item On choisit au hasard une fiche parmi celles indiquant que la mère a fumé pendant la grossesse. 

Calculer la probabilité que l'enfant n'ait aucun trouble. 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}
 
\textbf{\textsc{ Exercice 3}\hfill 5 points}

\medskip

La trypsine est une enzyme digestive du suc pancréatique qui a pour but de digérer les protéines. Elle est synthétisée sous forme de trypsinogène puis stockée dans les vésicules enzymatiques des cellules acineuses, d'où elle est excrétée au moment de la digestion. 

\medskip

Le but de cet exercice est de rechercher pour quelle valeur du pH du duodénum l'action de la trypsine est la plus efficace. 

\medskip

Soit $f$ la fonction, définie et dérivable sur [6~;~9J, d'expression 

\[f(x) = 0,37x^3 - 9,35x^2 + 76,51x - 200,95\]
 
La fonction $f$ mesure l'efficacité de la trypsine lors de la digestion pour différentes valeurs $x$ du pH.
 
Soit $f'$ sa fonction dérivée. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Voici la représentation graphique de la fonction $f'$ : 

\medskip

\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-0.5,-2.5)(10.5,6)
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-0.5,-2.5)(10.5,6)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\uput[d](10.5,0){$x$}
\psplot[linecolor=blue,plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{6}{9}{1.11 x dup mul mul 18.7 x mul sub 76.51 add}
\end{pspicture}

\medskip

À l'aide du graphique, dresser le tableau de signes de la fonction $f'$, sur l'intervalle [6~;~9]. 
\item
	\begin{enumerate}
		\item  Calculer l'expression de $f'$ et vérifier que, pour tout réel $x$ de l'intervalle [6~;~ 9],

\[ f'(x) = (x - 7)(1, 11x - 10,93) \]
		
	\item Retrouver par le calcul les résultats de la question 1. 
	\end{enumerate}
\item Dresser le tableau des variations de $f$ sur l'intervalle [6~;~ 9]. 
\item Quel doit être le pH du duodénum pour que la réaction protéinique soit la plus efficace possible ? 
\end{enumerate} 

\newpage

\begin{center}

\textbf{Annexe (exercice 1) à rendre avec la copie }

\vspace{3cm}

\renewcommand{\arraystretch}{1.75}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}c|}\hline
					&Mère fumeuse pendant la grossesse &Mère non fumeuse pendant la grossesse &
Total\\ \hline 
Enfants asthmatiques		&		&	&72\\ \hline 
Enfants présentant un
 trouble asthmatiforme 		&123 	&	&\\ \hline
Enfant ne présentant 
aucun trouble 				&		&	&\np{1223}\\ \hline 
Total						&240	& 	&\np{1500} \\ \hline
\end{tabularx}
\renewcommand{\arraystretch}{1}
\end{center}
\end{document}