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% Tapuscrit : Jean-Claude Souque
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}

\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat  Sciences et Technologies de la Santé et du Social (ST2S)}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{16 juin 2016}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}\textbf{Durée : 2 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat  ST2S Métropole 16 juin 2016~\decofourright}}
 \end{center}

\vspace{0,5cm}



\textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill(7 points)}

\medskip

L'embolie pulmonaire correspond à l'obstruction d'une artère pulmonaire par un caillot
circulant dans le sang.

Un test sanguin fondé sur le dosage de certaines molécules, les D-dimères, permet d'éclairer le
diagnostic lorsqu'une embolie pulmonaire est suspectée.

Pour étudier l'efficacité de ce test sanguin, on a réalisé une étude sur un groupe de \np{1000} patients
dont il ressort que :

\begin{itemize}
\item [\textbullet] 364 patients ont un test sanguin négatif et, parmi eux, 4 sont néanmoins atteints d'une embolie pulmonaire.
\item[\textbullet] 800 patients ne sont pas atteints d'une embolie pulmonaire.
\end{itemize}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Compléter le tableau donné en \textbf{annexe 1 (à remettre avec la copie)}.
\item On choisit le dossier médical d'un patient au hasard parmi les \np{1000} patients ayant été testés.

Chaque dossier a la même probabilité d'être choisi.

On considère les évènements suivants:

$T$ : \og Le test sanguin du patient est positif \fg{} et $\overline{T}$ son évènement contraire;

$M $ : \og Le patient est atteint d'une embolie pulmonaire\fg{} et $\overline{M}$ son évènement contraire.

	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la probabilité que le test sanguin du patient soit positif ?
		\item Calculer $P(M)$ et $P_M(T)$.
		\item Exprimer par une phrase l'évènement $M \cap T$ puis montrer que sa probabilité est $0,196$.
	\end{enumerate}
\item On donne les définitions suivantes:

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|p{2.5cm}|X|}\hline
& \multicolumn{1}{c|}{ Définition}\\\hline
Valeur prédictive positive	&Probabilité d'avoir une embolie pulmonaire sachant que le test
positive  sanguin est positif.\\ \hline
Valeur prédictive négative	& Probabilité de ne pas avoir une embolie pulmonaire sachant que le test
négative sanguin est négatif.\\ \hline
\end{tabularx}

	\begin{enumerate}
		\item  Calculer $P_T(M)$. On donnera une valeur approchée, arrondie au millième.

Interpréter le résultat obtenu en termes de valeur prédictive.
		\item Montrer que la valeur prédictive négative de ce test sanguin est environ 0,989.
		\item En examinant les deux résultats précédents, conclure quant à l'utilité de ce test sanguin
pour le diagnostic de l'embolie pulmonaire.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0.5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill(8 points)}

\medskip

On étudie la durée d'allaitement maternel d'un groupe de \np{1000} nourrissons nés le même jour.
À la fin de chaque semaine après la naissance, on compte le nombre de nourrissons encore
allaités maternellement.

\smallskip
\emph{Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante.}
\smallskip

\textbf{Partie A}

Le tableau ci-dessous, extrait d'une feuille de calcul, donne semaine après semaine le nombre
de nourrissons encore allaités maternellement.

\medskip
\renewcommand\arraystretch{1.25}
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|>{\columncolor{lightgray}}c|m{4.3cm}|*8{>{\centering \arraybackslash}X|}}
\hline
\rowcolor{lightgray}&\centering A						&B		&C	&D	&E	&F	&G	&H	&I\\\hline
1&Nombre de semaines depuis la naissance				&1		&2	&3	&4	&5	&6	&7	&8\\\hline
2&Nombre de nourrissons encore allaités maternellement	&595	&572&551&534&505&485&472&453\\\hline
3&Pourcentage d'évolution&\multicolumn{1}{>{\columncolor{gray}}c|}{\quad}&\small $-3,9\,\%$&	&	&	&	&	&\\\hline
\end{tabularx}
\end{center}
\renewcommand\arraystretch{1}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer le pourcentage d'évolution, entre la deuxième et la troisième semaine, du
nombre de nourrissons encore allaités maternellement. Le résultat sera arrondi à $0,1$\,\%.
\item \emph{Les cellules {\rm C}$3$ à {\rm I}$3$ sont au format pourcentage arrondi à $0,1$\,\%.}

Proposer une formule à saisir dans la cellule C3 qui, recopiée vers la droite, permet de calculer
le pourcentage d'évolution entre deux semaines consécutives du nombre de nourrissons allaités
maternellement.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $[0~;~100]$ par:

\[f(x) = 620 \times 0,96^x.\]

\begin{enumerate}
\item  On admettra que la fonction $f$ a les mêmes variations que la fonction $g$ définie sur
l'intervalle $[0~;~100]$ par $g(x) = 0,96^x$ .

Déterminer, en justifiant, le sens de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0~;~100]$.
\item Compléter le tableau de valeurs, correspondant à la fonction $f$, donné dans \textbf{l'annexe 3}  (à remettre avec la copie).\emph{ Les résultats seront arrondis à l'unité.}
\item Tracer l'allure de la représentation graphique de la fonction $f$ dans le repère fourni dans
\textbf{l'annexe 3}.

\item \begin{enumerate}
\item  Résoudre graphiquement l'inéquation $f(x) \leqslant 250$. \emph{Tracer les pointillés nécessaires et donner une valeur approchée du résultat avec la précision permise par le graphique.}
\item Retrouver le résultat précédent par le calcul.
\item On modélise, à l'aide de la fonction $f$, le nombre de nourrissons allaités
maternellement. Ainsi, $f(x)$ donne une estimation du nombre de nourrissons encore
allaités maternellement, $x$ semaines après leur naissance.

Selon ce modèle, estimer le nombre de semaines à partir duquel moins d'un quart des
nourrissons seront encore allaités maternellement.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\medskip

\textbf{Partie C}

\smallskip  
Dans cette partie, on modélise, à l'aide d'une suite géométrique, le nombre de nourrissons
allaités maternellement. On suppose que ce nombre diminue de 4\,\% chaque semaine.

Pour tout entier $n$ strictement positif, on note $U_n$ une estimation du nombre de nourrissons
encore allaités maternellement $n$ semaines après leur naissance.

Ainsi $U_1 = 595$.

\begin{enumerate}
\item Justifier que la raison de la suite géométrique $\left(U_n\right)$ est 0,96.
\item Pour tout entier $n \geqslant 1$, exprimer $U_n$ en fonction de $n$.
\item Selon ce modèle, à combien peut-on estimer le nombre de nourrissons encore allaités
maternellement 24 semaines (soit environ 6 mois) après leur naissance ?
\end{enumerate}

\vspace{0.5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3}\hfill(5 points)}

\emph{\textbf{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM)}. Pour chaque question, quatre
affirmations sont proposées, une seule de ces affirmations est exacte.}

\emph{Le candidat complétera le tableau de réponses fourni en \textbf{annexe $2$ page \pageref{rep}/\pageref{LastPage} (à remettre avec la copie)}, en précisant la lettre de la réponse choisie pour chaque question.}

\emph{Aucune justification n'est demandée.}

\emph{Une réponse exacte rapporte un point, une réponse fausse ou l'absence de réponse n'enlève
aucun point.}

\textbf{Dans chaque partie, les questions peuvent être traitées de façon indépendante.}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Le tableau ci-dessous donne, pour chacune des années de 2007 à 2014, la proportion de
Finlandais âgés de 25 à 64 ans qui ont terminé au moins le second cycle du secondaire.

\renewcommand\arraystretch{1.5}
\begin{tabular}{|m{5.8cm}|*8{c|}}\hline
\centering Année 		&2007	&2008	&2009	&2010	&2011 	&2012	&2013	&2014\\\hline
Rang de l'année $(x_i)$	&0 		&1 		&2		&3		& 4		&5 		&6		&7\\\hline
\begin{minipage}{5.8cm}Proportion (en\,\%) de
Finlandais âgés de 25 à 64 ans
ayant terminé au moins le 
second cycle du secondaire $(y_i)$
\end{minipage}			&80,5 	&81,1	&82 	&83		&83,7	&84,8	&85,9	&86,5\\\hline
\multicolumn{9}{r}{\footnotesize (Source: Eurostat)}
\end{tabular}

On considère le nuage de points de coordonnées $\left(x_i~;~y_i\right)$ dans un repère orthogonal.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Le point moyen, G, de ce nuage de points a pour coordonnées, arrondies au dixième:

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|*{4}{X|}} \hline
 \textbf{a.~~} $(4~;~95,4)$&\textbf{b.~~} $(4~;~83,4)$&\textbf{c.~~} $(3,5~;~83,4)$&\textbf{d.~~}  $(3,5~;~95,4)$\\
 \hline
 \end{tabularx}
\end{center}

\item On admet que la droite ($\Delta$) d'équation $y = 0,89x + 80,3$ réalise un bon ajustement affine
du nuage de points et que cet ajustement reste valable jusqu'en 2025.

Selon cet ajustement, on peut estimer que la proportion de Finlandais âgés de 25 à 64 ans
ayant terminé au moins le second cycle du secondaire sera en 2020 de :
\begin{center}
\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|*{4}{X|}} \hline
\textbf{a.~~} $90,98\,\%$&\textbf{b.~~} $98,1\,\%$&\textbf{c.~~} $92,76\,\%$&\textbf{d.~~}  $91,87\,\%$\\
\hline
\end{tabularx}
\end{center}
\end{enumerate}
\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[-5~;~8]$ dont la représentation graphique $\mathcal{C}_f$ est donné dans le repère orthonormal ci-dessous.La droite(T) est tangente à la courbe au point A d'abscisse 2.

\begin{center}
\psset{xunit=0.7cm,yunit=0.7cm}
\begin{pspicture}(-5.5,-5)(9,6)
\psaxes[linewidth=1.05pt]{->}(0,0)(-5.5,-5)(9,6)
\multido{\n=-5.5+0.5}{30}{\psline[linewidth=0.15pt,linecolor=orange](\n,-5)(\n,6)}
\multido{\n=-5+0.5}{23}{\psline[linewidth=0.15pt,linecolor=orange](-5.5,\n)(9,\n)}
\pscurve[linewidth=1.25pt,linecolor=blue](-5,-2)(-4,-0.7)(-3,0)(-2,1.7)(-1,3)(0,2)(2,0)(3,-1.5)(4,-2)(5,0)(7,2)(8,4)
\uput[dl](0,6.05){$y$}
\uput[d](9,0.05){$x$}
\uput[dl](0,0){O}\uput[ur](2,0){A}\uput[ur](8,3){$\mathcal{C}_f$}
\psline[linewidth=0.8pt,linestyle=dashed] (-1,6)(4.5,-5)
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=1.5,linecolor=blue](-5,-2)(-3,0)(-1,3)(0,2)(2,0)(4,-2)(5,0)(7,2)(8,4)
\end{pspicture}
\end{center} 

\begin{enumerate}
\item Le nombre dérivé de la fonction $f$ en 2 est égal à :

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|*{4}{X|}} \hline
\textbf{a.~~} $-2$&\textbf{b.~~} $0$&\textbf{c.~~} $-4$&\textbf{d.~~}  $4$\\\hline
\end{tabularx}
\end{center}

\item Soit $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$. On a 
\begin{center}
\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|*{2}{X|}} \hline
\textbf{a.~~} $f'$ positive sur $[-3~;~2]$&\textbf{b.~~} $f'$ négative sur $[2~;~5]$\\\hline
\textbf{c.~~} $f'$ négative sur $[-1~;~4]$&\textbf{d.~~}  $f'$ positive sur $[-1~;~2]$\\\hline
\end{tabularx}
\end{center}
\item L'ensemble des solutions de l'inéquation $f(x)\geqslant 0$ est :

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|*{2}{X|}} \hline
\textbf{a.~~}  $[0~;~4]$&\textbf{b.~~} $[-3~;~2]\cup [5~;~8]$\\\hline
\textbf{c.~~}  $[0~;~8]$&\textbf{d.~~} $[-5~;~-1]\cup [4~;~8]$\\\hline
\end{tabularx}
\end{center}

\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\textbf{Annexe à remettre avec la copie}
\end{center}

\vspace{1cm}

\textbf{Annexe 1 (\textsc{Exercice 1})}

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
		&Patient atteint d'une embolie pulmonaire 	&Patient non atteint d'une embolie pulmonaire&  Total\\\hline
Test positif&										&									&\\\hline
Test négatif&4										&									&\\\hline 
Total 		& 										&									&\np{1000}\\\hline
\end{tabularx}

\vspace{1cm}

\textbf{Annexe 2 (\textsc{Exercice 3})}

\medskip
\begin{center}
\emph{Recopier la lettre de la réponse choisie pour chaque question.}
\end{center}

\textbf{Partie A :}

\medskip
\begin{center}
\begin{tabular}{|*3{>{\centering \arraybackslash}m{3cm}|}}
\hline 
Question 	&1	&2\\\hline
Réponse		&	&\\\hline
\end{tabular}
\end{center}

\textbf{Partie B :}

\medskip
\begin{center}
\begin{tabular}{|*4{>{\centering \arraybackslash}m{3cm}|}}
\hline 
Question 	&1	&2	&3\\\hline
Réponse		&	&	&\\\hline
\end{tabular}
\end{center}
\label{rep}
\newpage 

\begin{center}
\textbf{Annexe à remettre avec la copie}
\end{center}

\vspace{1cm}

\textbf{Annexe 3 (\textsc{Exercice 2})}

\begin{center}
\emph{Valeurs approchées, arrondies  à l'unité}

\medskip
\begin{tabular}{|c|*{9}{p{0.85cm}|}}\hline
$x$						&0	&5	&10	&20	&30	&40	&60	&80	&100\\\hline
$f(x)=620\times 0,96^x$	&	&	&	&	&	&	&	&	&\\\hline
\end{tabular}

\vspace{1.5cm}

\psset{xunit=0.1cm,yunit=0.02}
\begin{pspicture}(-0.2,-0.2)(110,750)
\multido{\n=0+10}{11}{\psline[linewidth=0.25pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,700)}
\multido{\n=0+50}{15}{\psline[linewidth=0.25pt,linecolor=orange](0,\n)(100,\n)}
\psaxes[linewidth=1.pt,Dx=10,Dy=100]{->}(0,0)(109,700)
\end{pspicture}
\end{center} 
\label{courbe}
\end{document}