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%Tapuscrit : Jean-Claude Souque
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Sciences et technologies de la santé et du social}  
\lfoot{\small{Métropole--La Réunion}}
\rfoot{\small{8 septembre 2016}}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat ST2S Métropole--La Réunion 8 septembre 2016~\decofourright\\}}

\vspace{0,3cm}
 
Une calculatrice est autorisée %conformément à la circulaire \no 99-186 du 16 novembre 1999.
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill 6 points}

\medskip

Les périodes hivernales sont propices au développement de deux maladies: la gastro-entérite
et la grippe saisonnière.

Dans un lycée, le personnel de santé chargé du suivi médical des élèves a effectué un
recensement dont il ressort que:
\begin{itemize}
\item [$\bullet$] 12\,\% des élèves du lycée ont contracté la grippe saisonnière durant l'hiver 2015-2016;
\item [$\bullet$] parmi ces élèves, 25\,\% ont aussi contracté une gastro-entérite;
\item [$\bullet$] parmi les élèves n'ayant pas contracté la grippe saisonnière durant l'hiver 2015-2016,
17\,\% ont néanmoins contracté une gastro-entérite.
\end{itemize}
On choisit au hasard la fiche de suivi médical d'un élève de ce lycée, chaque fiche ayant la
même probabilité d'être choisie. On considère les évènements suivants:
\begin{itemize}
\item [$\bullet$] $S$: \og l'élève a contracté la grippe saisonnière durant l'hiver 2015-2016\fg et $\overline{S}$, son
évènement contraire ;
\item [$\bullet$] $E$: \og l'élève a contracté une gastro-entérite durant l'hiver 2015-2016 \fg et $\overline{E}$, son
évènement contraire.
\end{itemize}

\smallskip

On donne l'arbre de probabilité suivant, partiellement complété, qui pourra être utilisé dans tout
l'exercice. (Il n'est pas demandé de le reproduire sur la copie).

\bigskip

\begin{center}
\psset{labelsep=0.1pt,nodesepA=0pt,nodesepB=2.5pt}
\pstree[treemode=R]{\TR{}}
{\pstree{\TR{$S$~}\taput{0,12}}
	{
	\TR{$E$}\taput{\np{0.25}}
	\TR{$\overline{E}$}\tbput{}
	}
\pstree{\TR{$\overline{S}$~}\tbput{}}
	{\TR{$E$}\taput{}
	\TR{$\overline{E}$}\tbput{}
	}
}
\end{center} 

\bigskip

\emph{Les deux parties suivantes peuvent être traitées de façon indépendante.}

\medskip

\textbf{Partie A : Questionnaire à choix multiples (QCM)}

Pour chacune des quatre questions, une seule des trois propositions est exacte.

Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la
réponse choisie.

Pour chaque question. il est compté un point si la réponse est exacte, zéro sinon.

Aucune justification n'est demandée.
\begin{enumerate}
\item  L'évènement $S \cap E$ correspond à :

\begin{tabular}{|*{3}{p{4.5cm}|}}\hline
A.~~ \og L'élève a contracté une &B.~~ \og L'élève a contracté une &   C.~~ \og L'élève a contracté une\\
gastro-entérite, sachant qu'il  &grippe saisonnière et une  &gastro-entérite ou une grippe\\
avait eu une grippe             &gastro-entérite\fg.    	&saisonnière.\fg \\
saisonnière. \fg				&							&\\\hline
\end{tabular}

\item La probabilité de l'évènement $S\cap E$ est:

\begin{tabular}{|*{3}{p{4.5cm}|}}
\hline
A. ~~25\,\% & B.~~ 3\,\% & C.~~ 37\,\%\\
 \hline
\end{tabular} 
 
\item La probabilité que l'élève ait eu une gastro-entérite durant l'hiver 2015-2016 est:

\begin{tabular}{|*{3}{p{4.5cm}|}}
\hline
A.~~ 42\,\% & B.~~ 3\,\% & C.~~ 17,96\,\%\\
 \hline
 \end{tabular}
 
\item  Sachant que l'élève a eu une gastro-entérite au cours de l'hiver 2015-2016, la probabilité
qu'il ait eu la grippe saisonnière est:

\begin{tabular}{|*{3}{p{4.5cm}|}}
\hline
A.~~environ \np{16.7}\,\%& B.~~ environ \np{66,8}\,\%&C.~~  3\,\%\\
\hline
\end{tabular}

\end{enumerate}

\textbf{Partie B :}\emph{ Dans cette partie, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même
non fructueuse, sera prise en compte dans l 'évaluation.}

\smallskip

Sachant que le lycée compte 950 élèves, déterminer, en détaillant la démarche, le nombre
d'élèves du lycée qui ont traversé l'hiver 2015-2016 sans être infectés par aucune des deux
maladies (grippe saisonnière et gastro-entérite). On arrondira le résultat à l'unité.


\vspace{0.5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 7 points}

\medskip

Le service d'urgence d'un hôpital reçoit un patient infecté par une bactérie très virulente. Des
prélèvements sanguins sont régulièrement effectués afin de suivre l'évolution du nombre de
bactéries en fonction du temps. 

Tous les prélèvements réalisés ont le même volume.

Dans le premier prélèvement effectué au moment de l'admission du patient, on dénombre
\np{19 000} bactéries. La situation évoluant très rapidement, on administre au bout de trois heures
un puissant antibiotique dont l'effet est immédiat.

Dans toute cette étude, on note $t$, le temps (exprimé en heures) écoulé depuis le premier
prélèvement.

Soit $f$ la fonction définie pour tout réel $t \in [0~;~12]$, par
\[f(t) = -t^3 + 9t^2 + 21t + 190.\]
On considère que cette fonction permet de modéliser, en fonction du temps. le nombre de
bactéries (en centaines) présentes dans le prélèvement effectué sur le patient à l'instant $t$.

Ainsi $f(3)$ est le nombre de centaines de bactéries présentes dans le prélèvement sanguin
effectué au bout de 3 heures après l'admission du patient à l'hôpital.

\medskip

\textbf{Partie A : Étude de la fonction} \boldmath{$f$}\unboldmath

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Calculer $f(0)$,\:$f(7)$,\: $f(12)$.
\item Soit $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$. Calculer $f'(t)$ pour tout réel $t\in [0~;~12]$.

\emph{On admettra pour la suite de cette partie que la dérivée peut s'écrire sous la forme :}
\[f'(t) = - 3(t + 1)(t - 7).\]
\item Compléter le tableau figurant en\textbf{ annexe 1} (à remettre avec la copie), qui donne
le signe de la dérivée $f'$ et les variations de $f$.
\item   Calculer $f'(10)$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B : Application}

\medskip

On donne en \textbf{annexe 2} (à remettre avec la copie) une représentation graphique de la
fonction $f$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Par lecture graphique, déterminer le nombre de bactéries dans le prélèvement effectué trois
heures après l'admission du patient à l'hôpital.

\emph{On fera apparaître les pointillés utiles à la lecture.}
\item Comment se traduit graphiquement l'effet de l'antibiotique, à partir du moment où il est
administré ?
\item La situation d'un patient est critique, lorsque le nombre de bactéries dans un prélèvement
atteint \np{50 000}.

Le patient étudié risque-t-il d'être en situation critique au cours des 12 premières heures
suivant son admission à l'hôpital ? Justifier la réponse.
\item La vitesse de croissance du nombre de bactéries à l'instant $t$ est donnée par $f'(t)$ qui est le
nombre dérivé de la fonction $f$ en $t$.

Déterminer la vitesse de croissance du nombre de bactéries pour $t = 10$ heures, c'est-à-dire
$10$ heures après la prise en charge du patient par l'hôpital.
\end{enumerate}
\vspace{0.5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3}\hfill 7 points}

\medskip

La contraception d'urgence est une méthode contraceptive d'exception destinée à réduire les
possibilités de grossesses non désirées.

\medskip

\emph{Les deux parties peuvent être traitées indépendamment l'une de l'autre.}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip
Le tableau ci-dessous donne l'évolution des ventes de boîtes de contraception d'urgence.

\begin{center}
\begin{tabular}{|m{6.2cm}|*{5}{c|}}
\hline
Année &2003& 2005& 2007& 2009 &2011\\\hline
Rang de l'année: $x_i$&1 & 2 &3& 4& 5\\\hline
Nombre de boîtes de contraception d'urgence
vendues en France (en millions) : $y_i$& 0,81& 1,04 &1,18& 1,26& 1,28\\\hline
\multicolumn{6}{r}{\emph{Source : DREES/ CRIPS}}
\end{tabular}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item  Sur le graphique donné en \textbf{annexe 3 page \pageref{nuage}/\pageref{LastPage} (à remettre avec la copie)}, représenter le
nuage de points de coordonnées $(x_i: y_i)$.
\item Calculer les coordonnées du point moyen $G$ du nuage. Placer le point $G$ sur le graphique.
\item On admet que la droite $(d)$ d'équation $y = 0,116x + 0,766$ constitue un bon ajustement
de la série étudiée.
\begin{enumerate}
\item  Justifier par un calcul que le point $G$ appartient à la droite $(d)$.
\item Construire la droite $(d)$ dans le repère.
\end{enumerate}
\item On admet que l'ajustement réalisé par la droite $(d)$ reste valable jusqu'en 2017.

Estimer, par la méthode de votre choix, le nombre de boîtes de contraception d'urgence
vendues en France en 2017.
\end{enumerate}
\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Un laboratoire pharmaceutique français commercialise sous sa marque des boîtes de
contraception d'urgence. Il organise chaque année un sondage pour déterminer la part
 de la population française connaissant sa marque. 

Les résultats obtenus ont été placés dans une feuille de calcul automatisée.

\medskip

{\small
\renewcommand\arraystretch{2}
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|>{\columncolor{lightgray}}c|m{4.3cm}|*{10}{>{\small}X|}}\hline
\rowcolor{lightgray} &\centering A& B&C&D&E&F&G&H&I&J&K\\\hline
1					&Année&2005& 2006& 2007 &2008& 2009& 2010& 2011& 2012& 2013 &2014\\\hline
2					&Rang de l'année&0&1&2&3&4&5&6&7&8&9\\\hline
3					&\begin{minipage}{4.15cm}Part exprimée en \,\% de la population connaissant la marque\end{minipage}&9&11& 13& 16& 20& 24& 29& 35& 41& 49\\\hline
4					&Taux d'évolution entre deux années consécutives (en\%)&\cellcolor{black} &22,22&18,18& 23,08& 25,00& 20,00& 20,83& 20,69& 17,14 &\\\hline
\end{tabularx}
\end{center}}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Les cellules de la ligne 4, de C4 à K4, sont au format pourcentage.
\begin{enumerate}
\item  Donner une formule qui, saisie dans la cellule C4 et recopiée vers la droite, permet de
compléter la ligne 4.
\item Calculer la valeur qui devrait alors s'afficher dans la cellule K4.
\end{enumerate}

\item Les responsables du laboratoire pharmaceutique observent que la part de la population
française qui connaît sa marque progresse d'environ 20\,\% par an. Ils décident de modéliser
cette évolution par une suite géométrique $\left(u_n\right)$.

On note $u_n$ une estimation de la part (exprimée en \,\%) de la population française qui connaît
la marque du contraceptif d'urgence à l'année $(2005 + n)$.

Ainsi le premier terme de la suite $\left(u_n\right)$ est donné par $u_0 = 9$.
\begin{enumerate}
\item Donner la raison de la suite géométrique $\left(u_n\right)$ puis exprimer $u_n$ en fonction de $n$.
\item Calculer $u_{10}$ puis donner une interprétation du résultat dans le contexte de l'exercice.
\item Résoudre l'inéquation $9 \times 1,2^{x} \geqslant 75$.
\item Interpréter les solutions de la question précédente dans le contexte de l'exercice.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
Annexes à remettre avec la copie
\end{center}

\textbf{Annexe 1 : \textsc{Exercice} 2 - Partie A - Question 3}

\vspace{0.5cm}

\begin{tabular}{|p{7cm}|p{7cm}|}
\hline
$t$& 0\hfill 12\\\hline
Signe de $-3$& \centering $-$\tabularnewline
\hline
Signe de $(t + 1)$&\\\hline
Signe de $(t - 7)$&\\\hline
Signe de $f'(t) = -3(t + 1)(t - 7)$&\\\hline
\raisebox{1.2cm}

Variations de $f $&\\[1.35cm]\hline
\end{tabular}

\vspace{1cm}


\textbf{Annexe 2 : \textsc{Exercice} 2 - Partie B}

\bigskip

\begin{center}
\psset{xunit=1cm,yunit=0.02cm}
\begin{pspicture}(-0.25,-30)(15,550)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=100]{->}(0,0)(0,0)(14.5,550)
\multido{\n=0+1}{15}{\psline[linewidth=0.3pt,linecolor=orange](\n,-2.5)(\n,550)}
\multido{\n=0+10}{56}{\psline[linewidth=0.3pt,linecolor=orange](0,\n)(14,\n)}
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{12.05}{x 3 exp neg x 2 exp 9 mul add x 21 mul add 190 add }
\uput[d](12.8,-25){Temps (en heures)}
\uput[dl](0,0){O}\uput[dr](0,550){\small Estimation du nombre de bactéries du}
\uput[dr](0,530){\small prélèvements (en centaines)}
\end{pspicture}
\end{center} 
\label{fonct}
\newpage 

\begin{center}
Annexe à remettre avec la copie
\end{center}

\bigskip
\textbf{Annexe 3 : - \textsc{Exercice}3 - Partie A}
\vspace{1cm}

\psset{xunit=1.7cm,yunit=8.5cm,comma=true}
\begin{pspicture}(-0.25,-0.05)(9,2.1)
\psaxes[linewidth=1pt,Dy=0.5](0,0)(8.2,2.05)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dy=0.5]{->}(0,0)(1,1)
\multido{\n=0+0.5}{17}{\psline[linewidth=0.25pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,2)}
\multido{\n=0+0.1}{21}{\psline[linewidth=0.25pt,linecolor=orange](0,\n)(8,\n)}
\uput[l](0,0.1){$0,1$}\psline[linewidth=0.2pt](-0.05,0.1)(0.05,0.1)
\uput[u](7.5,0){Rang de l'année}
\uput[ur](0,2){Nombre de boîtes de contraception}
\uput[ur](0,1.96){d'urgence vendues en France (en millions)}
\end{pspicture}
\label{nuage}
\end{document}