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%Tapuscrit : Jean-Claude Souque 
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat  ST2S }
\lfoot{\small{Nouvelle Calédonie}}
\rfoot{\small{28 novembre 2017}}
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\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft ~Baccalauréat ST2S Nouvelle-Calédonie 28 novembre 2017~\decofourright   }} 
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 6 points}

\medskip

Un test de dépistage d'une maladie a été élaboré par une entreprise pharmaceutique.
Pour étudier sa fiabilité, on soumet à ce test une population comportant des personnes
malades et des personnes saines. 

On sait que dans la population testée :

\begin{itemize}
\item  la proportion de personnes malades est de 85\,\% ;
\item parmi les personnes malades, 95\,\% ont un test positif;
\item parmi les personnes saines, 75\,\% ont un test négatif.
\end{itemize}

 On choisit au hasard une personne dans la population testée; on admet que chaque
personne a la même probabilité d'être choisie.

On note:
\begin{itemize}
\item $M$ l'évènement: \og la personne est malade\fg{} ;
\item $T$ l'évènement: \og le test est positif fg.
\end{itemize}


Dans cet exercice, la probabilité d'un évènement $E$ est notée $p(E)$ ; la probabilité de
l'évènement $E$ sachant que l'évènement $F$ est réalisé est notée $P_F(E)$ ; l'évènement
contraire d'un évènement $E$ est noté $\overline{E}$.


\begin{enumerate}
\item  Interpréter les données de l'énoncé pour déterminer les probabilités $p(M)$ , $P_M(T)$ et

$p{\overline{M}}\left(\overline{T}\right)$.
\item Traduire la situation par un arbre pondéré de probabilités.
\item \begin{enumerate}
\item Exprimer par une phrase l'évènement $M\cap T$.
\item Calculer la probabilité $p (M \cap T)$. En donner la valeur exacte.
\end{enumerate}
\item Montrer que $p(T) = 0,845$.
\item On considère que le test de dépistage est fiable lorsque la probabilité qu'une personne
soit malade sachant que son test est positif est supérieure ou égale à 0,95.

Le test est-il fiable ? 
\end{enumerate}
\vspace{0.5cm}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 6 points}

\medskip


Le tableau ci-dessous, extrait d'une feuille de tableur, donne l'évolution de 2010 à 2016 du
nombre de naissances dans une commune rurale. 

La ligne 4 est au format pourcentage.

\medskip

\begin{center}
\begin{tabular}{|c|m{4.6cm}|*{7}{c|}}\hline 
 &\centering A				& B		& C 	&D		&E		&F		&G 		&H\\\hline
1& Année					&2010	&2011	&2012 	&2013	&2014	&2015	&2016\\\hline
2& Rang de l'année $(x_i)$	&0		&1		&2		&3		&4		&5		&6\\\hline
3& Nombre de naissances
 $(y_i)$ 					&231	&220	&212	&201	&191	&185	&181\\\hline
4&\begin{minipage}{4.45cm}Taux d'évolution 
 entre 2 années consécutives 
 (en \%) \end{minipage} 	&		&		&		&		&		&		&\\\hline
\end{tabular}
\end{center}
\medskip

\emph{Il n'est pas demandé de compléter le tableau.} 

\begin{enumerate}

\item Calculer le taux d'évolution du nombre de naissances entre les années 2010 et 2011.

Donner le résultat en pourcentage, arrondi à 0,01\,\%.
\item Quelle formule doit-on saisir dans la cellule C4 pour calculer ce taux d'évolution et pour obtenir les autres taux d'évolution annuels en recopiant la formule vers la droite ?
\item Dans le repère orthogonal fourni \textbf{en annexe}, représenter le nuage de points de coordonnées $(x_i~;~y_i)$.
\item 	
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer les coordonnées du point moyen G de ce nuage de points.
		\item Placer le point G dans le repère précédent.
	\end{enumerate}
\item On suppose que la droite $(D)$ d'équation $y = -9x + 230$ réalise un ajustement affine du nuage de points. On suppose que cet ajustement est valable jusqu'en 2020.

Montrer que le point G appartient à la droite $(D)$ et tracer cette droite. On expliquera la construction de la droite.
\item Déterminer graphiquement une estimation du nombre de naissances en 2017. Laisser
apparents les traits de construction et indiquer la valeur ainsi déterminée sur la copie.
\item  Déterminer une estimation de l'année au cours de laquelle le nombre de naissances passera sous le seuil des $160$~naissances. Expliquer la démarche.

\end{enumerate}
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 8 points}

\medskip

Un laboratoire pharmaceutique veut fabriquer un antibiotique contre les pneumonies
bactériennes. Dans un premier temps, le laboratoire étudie l'évolution de la masse d'une colonie de bactéries. Dans un second temps le laboratoire teste l'efficacité de son
antibiotique.

\bigskip

\textbf{Partie A} 

\medskip

Dans cette partie, le laboratoire étudie l'évolution de la masse d'une colonie de bactéries
au cours du temps dans un milieu spécifique. On suppose que ce milieu est tel que la
masse de la colonie augmente de 20\,\% par heure.

Au début de l'expérience, la masse de la colonie présente dans le milieu est égale à
\np[mg]{10}. 

Dans cette partie, on suppose que l'évolution de la masse de la colonie, exprimée en mg,
est modélisée par une suite $\left(u_n\right)$ où $n$ représente le nombre d'heures écoulées depuis le
début de l'expérience.

\begin{enumerate}
\item  Calculer la masse de la colonie de bactéries au bout d'une heure d'expérience.
\item Montrer que la suite $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique. On précisera son premier terme
$u_0$ et sa raison.
\item  \begin{enumerate}
		\item Donner l'expression de $u_n$ fonction de $n$.
		\item Calculer la masse de la colonie de bactéries au bout de la 15\ieme heure d'expérience.

Donner la valeur arrondie au milligramme.
		\end{enumerate}
\item Au bout de combien de temps la masse de la colonie de bactéries présente dans le
milieu dépassera-t-elle \np[mg]{500}  ? 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B} 

\medskip

Le laboratoire teste l'effet de son antibiotique sur une colonie de bactéries pendant une
période de 10 heures. Au début du test, la masse de la colonie est de \np [mg]{500}.

Dans cette partie, on modélise l'évolution de la masse de la colonie de bactéries par la fonction $M$ définie sur l'intervalle [0; 10] par :
 
\[M(x) = x^3 -9x^2 -48x + 500\]

\begin{enumerate}
\item Calculer $M(0)$ et $M(10)$ .
\item On note $M'$ la fonction dérivée de la fonction $M$ sur l'intervalle [0~;~10].
\begin{enumerate}
\item Calculer $M'(x$).
\item Vérifier que, pour tout $x$ appartenant à l'intervalle [0~;~10], $M'(x)=(3x+6)(x-8)$.
\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Dresser le tableau de signe de $M'(x)$ sur l'intervalle [0~;~10].
		\item En déduire le tableau de variation de la fonction $M$ sur l'intervalle [0~;~10].
	\end{enumerate}
\item Quelle est la valeur du minimum de la fonction $M$ sur l'intervalle [0~;~10] ?
\item L'antibiotique est dit efficace s'il parvient, au cours du test, à diviser par cinq la masse
initiale de la colonie. L'antibiotique est-il efficace? Justifier la réponse. 
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\textbf{ANNEXE}

\textbf{À rendre avec la copie}

\medskip

\textbf{\textsc{Exercice} 2}
\end{center}

\psset{xunit=1.3cm,yunit=0.2cm}
\begin{pspicture}(-0.75,-5)(12,100)
\multido{\n=0+0.5}{20}{\psline[linewidth=0.95pt,linecolor=lightgray,linestyle=dotted](\n,2)(\n,98)}
\multido{\n=5+5}{19}{\psline[linewidth=0.95pt,linecolor=lightgray,linestyle=dotted](-0.5,\n)(9.5,\n)}
 \psaxes[linewidth=1.15pt,,Oy=155,Dy=10,labels=x]{->}(0,5)(10,98)
\multido{\n=10+10,\i=160+10}{9}{\uput[l](0,\n){\i}}
\multido{\n=5+5}{19}{\psline[linewidth=1pt](-0.1,\n)(0.1,\n)}
\uput[r](0,97.5){ \textbf{Nombre de naissances}}
\uput[r](8,1){\textbf{ Rang de l'année}}
\end{pspicture}
\end{document}