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% Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small {Baccalauréat  ST2S}}
\lfoot{\small{Métropole--La Réunion}}
\rfoot{\small{7 septembre 2015}}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 2 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat  ST2S  Métropole--La Réunion 7 septembre 2015~\decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill  8 points}

\medskip

\emph{Les parties A et B peuvent être traitées indépendamment l'une de l'autre.}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Depuis 1997, le Conseil européen a adopté une directive concernant l'évaluation et la gestion de la qualité de l'air ambiant en agglomération. Pour cela, on calcule la moyenne annuelle des
concentrations en particules fines en suspension dans l'air, à partir de mesures effectuées
régulièrement.

Le tableau ci-dessous indique les concentrations annuelles moyennes en particules fines dans
les grandes agglomérations belges, exprimées en micro grammes par mètre cube d'air
$\left(\mu\text{g} \cdot \text{m}^{-3}\right)$.

\begin{center}

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{5.5cm}|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Année 					&2001 	&2002 	&203 	&2004 	&2005 	&2006	&2007\\ \hline
Rang de l'année : $x_i$	&1 		&2 		&3 		&4		&5		&6		&7\\ \hline
Concentration annuelle moyenne $\left(\text{en}\: \mu\text{g} \cdot  \text{m}^{-3}\right)$ en particules fines : $y_i$&40 	&35 	&34 	&33 	&34 	&33		&35\\ \hline

\end{tabularx}

\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{5.5cm}|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Année 					&2008 	&2009 	&2010 	&2011 	&2012 	&2013\\ \hline
Rang de l'année : $x_i$	& 8 	&9 		&10 	&11		& 12	&13\\ \hline
Concentration annuelle moyenne $\left(\text{en}\: \mu\text{g} \cdot \text{m}^{-3}\right)$ en particules fines : $y_i$& 31 	&30 	&31 	&26 	&26 	&28\\ \hline
\multicolumn{7}{l}{\footnotesize (source : \emph{modifié d'après Eurostat})}\\
\end{tabularx}
\end{center}

Afin d'effectuer des prévisions pour les années futures, les services sanitaires décident de
conduire une étude statistique de ces données.

Dans l'annexe 1  à remettre avec la copie, on a représenté dans un repère
orthogonal du plan le nuage de points de coordonnées $\left(x_i~;~y_i\right)$ associé à ce tableau.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer les coordonnées du point moyen G de ce nuage et le placer dans le repère de
l'annexe~1.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item On donne le point A(11~;~28).
		
Montrer que l'équation réduite de la droite (AG) s'écrit : $y = - x + 39$.
		
Tracer la droite (AG) sur le graphique donné en annexe 1.
		\item En supposant que la droite (AG) réalise un ajustement affine du nuage valide jusqu'en
2020, estimer la concentration annuelle moyenne en particules fines dans l'air des
grandes agglomérations belges pour l'année 2015.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Ces particules fines peuvent pénétrer profondément dans les poumons et y occasionner des
inflammations et une détérioration de la santé des personnes souffrant de maladies
pulmonaires ou cardiaques. Par précaution, le Conseil européen a fixé à 40 microgrammes par
mètre cube la valeur limite maximale de la concentration annuelle moyenne en particules
fines dans l'air.

Afin de respecter cette norme, on a calculé les concentrations annuelles moyennes dans l'air
en particules fines dans les grandes agglomérations bulgares :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{4cm}|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Année 					&2009 	&2010 	&2011 	&2012 	&2013\\ \hline
Concentration annuelle moyenne $\left(\text{en}\: \mu\text{g} \cdot . \text{m}^{-3}\right)$ en particules fines : $y_i$&57 	&53 	&55 	&60 	&53\\ \hline
\multicolumn{6}{l}{\footnotesize (source : \emph{modifié d'après Eurostat})}\\
\end{tabularx}
\end{center}

Les services sanitaires bulgares ont mis en place depuis 2013 une série de mesures incitatives
pour réduire la concentration annuelle moyenne en particules fines. Ils souhaitent ainsi obtenir
une diminution de 3\,\% par an de cette concentration.

Dans cette partie, les résultats seront arrondis au centième.

\medskip

\begin{enumerate}
\item On modélise à l'aide d'une suite $\left(u_n\right)$ la diminution souhaitée de 3\,\% par an de la
concentration annuelle moyenne en particules fines dans les grandes agglomérations
bulgares.

On pose $u_0 = 53$ et, pour tout entier naturel $n$ non nul, on désigne par $u_n$ la concentration
annuelle moyenne souhaitée pour l'année $(2013 + n)$.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer les concentrations annuelles moyennes en particules fines souhaitées pour les années 2014 et 2015.
		\item Quelle est la nature de la suite $\left(u_n\right)$ ? Justifier que la raison est égale à $0,97$.
		\item Exprimer $u_n$ en fonction de $n$, pour tout entier naturel $n$.
		\item Selon ce modèle, calculer la concentration annuelle moyenne en particules fines souhaitée pour l'année 2019.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Résoudre l'inéquation $53 \times  0,97^x \leqslant 40$.
		\item En déduire à partir de quelle année la Bulgarie pourra atteindre la valeur limite fixée par le Conseil européen.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill  6 points}

\medskip

La Caisse Primaire d'Assurance Maladie (CPAM) réalise une étude sur trois des principales affections de longue durée en répertoriant les patients selon la maladie qu'ils ont contractée et selon leur sexe.

Les affections considérées sont : la leucémie lymphoïde, les anomalies de coagulation et les anomalies du tissu conjonctif. On admet qu'un patient étudié ne peut être atteint que d'une seule maladie.

L'étude porte sur \np{65955} patients, dont \np{26703} hommes.

On observe \np{28665} patients atteints d'une leucémie lymphoïde, et parmi ceux-ci, 54\,\% sont
des hommes.

Par ailleurs, 55\,\% des patients atteints d'anomalies de coagulation sont des femmes.

\medskip

\begin{enumerate}
\item À l'aide des informations précédentes, compléter les cases grisées de la feuille de calcul
donnée en annexe 2. (On arrondira les résultats à l'unité).
\item On choisit au hasard un patient parmi les 65955 ayant participé à l'étude.
On considère les évènements suivants:

\setlength\parindent{6mm}
\begin{description}
\item[ ] $L$ : \og Le patient est atteint de leucémie lymphoïde \fg.
\item[ ] $C$ : \og Le patient est atteint d'anomalies de coagulation \fg.
\item[ ] $T$ : \og Le patient est atteint d'anomalies du tissu conjonctif \fg.
\item[ ] $H$ : \og Le patient est un homme \fg, et $\overline{H}$ son évènement contraire.
\end{description}
\setlength\parindent{0mm}

Dans la suite de cet exercice, les résultats seront arrondis au centième.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la probabilité de l'évènement $L$, puis celle de l'évènement $H$.
		\item Décrire par une phrase l'évènement $L \cap \overline{H}$, puis calculer sa probabilité.
		\item Calculer la probabilité que le patient soit atteint de leucémie lymphoïde en sachant
qu'il s'agit d'un homme.
		\item Parmi les trois formules suivantes, choisir celle à entrer dans la cellule B10 de la feuille de calcul donnée en annexe 2, de sorte que, recopiée vers la droite jusqu'à la cellule D10, elle permette d'afficher les probabilités conditionnelles de chaque affection dans le cas où le patient est un homme :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}X}		
A.~~ =B2/E2 &B.~~ =B2/\$E\$2 &C.~~ =B2/\$B\$4 .
\end{tabularx}
\medskip

	\end{enumerate}
\item On choisit un patient parmi ceux atteints d'anomalies du tissu conjonctif.

Calculer la probabilité que ce patient soit un homme.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill  6 points}

\medskip

\emph{Les parties A et B peuvent être traitées indépendamment l'une de l'autre.}

\smallskip

La grue blanche (\emph{grus americana}) est un oiseau d'Amérique du Nord. Suite à une chasse
intensive et à la détérioration de son habitat, cette espèce est en voie de disparition. En 1938,
le nombre de grues blanches sauvages s'élevait à 15 individus. Depuis 1940, les grues
blanches font l'objet de plusieurs programmes de protection.

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Le nombre de grues blanches sauvages est représenté dans un repère du plan en annexe 3 et à rendre avec la copie, pour les années 1910, 1920, 1928, 1930 et 1938.
Une espèce est considérée en \og danger critique d'extinction\fg{} si sa population a diminué de plus de 80\,\% sur la période des dix années précédentes.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer graphiquement, avec la précision permise par le graphique et en faisant
apparaître les traits de construction nécessaires, le nombre de grues blanches sauvages en
1928.
\item Peut-on considérer que les grues blanches sauvages étaient en \og danger critique d'extinction \fg{} en 1938 ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

On suppose que l'évolution de la taille de la population des grues blanches sauvages à partir de 1938 est modélisée par la fonction $f$ définie sur l'intervalle [38~;~100] par :

\[f(x) = 0,08x^2 - 7,2x + 173\]

où $x$ est le temps écoulé en années à partir de 1900. Ainsi l'année 1938 correspond à $x = 38$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Compléter le tableau de valeurs donné en annexe 3. Les résultats seront arrondis à l'unité.
		\item Tracer la courbe représentative de la fonction $f$ sur le repère donné en annexe 3.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item La fonction $f’$ désigne la fonction dérivée de la fonction $f$. Déterminer $f’(x)$ pour tout réel $x$ appartenant à l'intervalle [38~;~100].
		\item Déterminer le signe de $f'(x)$ pour tout $x$ de l'intervalle [38~;~100].
		\item En déduire le tableau des variations de la fonction $f$ sur l'intervalle [38~;~100].
		\item Déterminer, selon ce modèle, l'année où le nombre de grues blanches sauvages sera
minimal.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
	
\begin{landscape}
\begin{center}
\textbf{Annexe 1 (Exercice 1)}

\textbf{À rendre avec la copie}

\bigskip

\psset{xunit=0.8cm,yunit=0.4cm}
\begin{pspicture}(-0.3,-0.3)(21,27)
\multido{\n=0+1}{22}{\psline[linestyle=dashed,linewidth=0.3pt](\n,0)(\n,26)}
\multido{\n=0+1}{27}{\psline[linestyle=dashed,linewidth=0.3pt](0,\n)(21,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Oy=16,Dy=2]{->}(0,0)(0,0)(21,26)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Oy=16,Dy=2](0,0)(21,26)
\uput[r](0,26.5){Concentration annuelle moyenne en particules fines en Belgique}
\uput[r](0,25.5){(en micro grammes par mètre cube)}
\uput[u](16.5,1){Rang de l'année}
\uput[u](18,0){(Le rang 0 correspond à l'année 2000)}
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=1.5,linecolor=blue](1,24)(2,19)(3,18)(4,17)(5,18)(6,17)(7,19)(8,15)(9,14)(10,15)(11,10)(12,10)(13,12)
\end{pspicture}
\end{center}
\end{landscape}

\begin{center}

\textbf{Annexe 2 (Exercice 2)}

\medskip

\textbf{À rendre avec la copie}

\vspace{1cm}

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
	&A 		&B 	&C 	&D 	&E\\ \hline
1	&		&Patients atteints de leucémie lymphoïde&Patients atteints d'anomalies de coagulation&Patients atteints d'anomalies  du   tissu conjonctif&Total\\ \hline
2 	&Homme 	&\multicolumn{1}{>{\columncolor{lightgray}}c|}{\quad}&\multicolumn{1}{>{\columncolor{lightgray}}c|}{\quad}&\np{4863}&\np{26703}\\ \hline
3 	&Femme	&\multicolumn{1}{>{\columncolor{lightgray}}c|}{\quad}&\multicolumn{1}{>{\columncolor{lightgray}}c|}{\quad}&\multicolumn{1}{>{\columncolor{lightgray}}c|}{\quad}&\multicolumn{1}{>{\columncolor{lightgray}}c|}{\quad} \\ \hline
4 	&Total &\np{28665}& \np{14135}&\np{23155}&\multicolumn{1}{>{\columncolor{lightgray}}c|}{\quad}\\ \hline
5	&		&&&&\\ \hline
6	&		&&&&\\ \hline
7 	&\multicolumn{5}{|c|}{Probabilités conditionnelles de chaque pathologie selon le sexe du patient}\\ \hline
8 	&\multicolumn{5}{|c|}{Sachant que le patient est un homme :}\\ \hline
9	&		&Leucémie lymphoïde&Anomalies de coagulation&Anomalies du  tissu conjonctif&\\ \hline
10 	&Probabilité d'être atteint : &0,58 &0,24 &0,18&\\ \hline
\multicolumn{6}{l}{(source : Ameli.fr)}
\end{tabularx}
\end{center}

\newpage

\begin{center}

\textbf{Annexe 3 (Exercice 3)}

\medskip

\textbf{À rendre avec la copie}

\vspace{0.5cm}

\psset{unit=0.1cm,yunit=0.05cm}
\begin{pspicture}(-5,-4)(116,266)
\multido{\n=0+2}{59}{\psline[linewidth=0.15pt](\n,0)(\n,260)}
\multido{\n=0+4}{66}{\psline[linewidth=0.15pt](0,\n)(116,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=10,Dy=20]{->}(0,0)(116,260)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=10,Dy=20](0,0)(116,260)
\uput[r](0,263){Nombre de grues sauvages}
\uput[u](86,8){Rang de l'année}

\uput[u](95,0){Le rang $0$ correspond à 1900}
\psset{linecolor=red}
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=1.8](10,200)(20,150)(28,90)(30,44)(38,16)
\end{pspicture}

\vspace{1cm}

\begin{flushleft}
\textbf{Question B. 1. A}
\end{flushleft}

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$		&38	&40	&45	&50	&60	&80	&100\\ \hline
$f(x)$	&	&	&	&	&	&	&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
\end{document}