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\begin{document}
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\rhead{A. P. M. E. P.}
\lhead{\small Baccalauréat    juin 2004}
\lfoot{\small{Série S.T.A.E.-S.T.P.A. }}
\rfoot{\small{Antilles--Guyane}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat  S.T.A.E.-S.T.P.A.~\decofourright \\ Antilles--Guyane    juin 2004\\
    }} }    

   (Coefficient : 2 - Durée : 2 heures)
    
L'utilisation d'une calculatrice et du formulaire est autorisée

\vspace{1cm}

\end{center}

\textbf{Exercice 1 : \hfill 4 points}

\medskip
 
On admet que lorsqu'on plante un conifère sur un sol limono-argileux, la probabilité que ce conifère dépérisse est de 5\:\%, et que les résultats des plantations sont indépendants les uns des autres.
 
\emph{Dans la suite, les résultats numériques seront donnés sous forme décimale arrondis à $10^{-3}$ près.}
 
\begin{enumerate}
\item  On plante 10~conifères sur un sol de ce type. Soit X la variable aléatoire égale au nombre de conifères qui dépérissent. Montrer que la loi de probabilité de X est la loi binomiale de paramètres $n = 10$ et $p = O,05$. 
\item  Calculer la probabilité que, sur une plantation de 10~conifères, il y en ait 2 qui dépérissent. 
\item  Calculer la probabilité que, sur une plantation de 10~conifères, il y en ait 2, au maximum, qui dépérissent. 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 : \hfill 4 points}

\medskip 

Soit $g$ la fonction définie sur $[0~;~2\pi]$ par :

\[g(x) = 2x + 1 - 2 \cos x.\]

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item  Déterminer la fonction dérivée $g'$ de $g$ sur $[0~;~2\pi]$. 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Montrer que pour tout $x$ -de $[0~;~2\pi],~g'(x)$ est du signe de $1 + \sin x$. 
		\item Résoudre dans $[0~;~2\pi]$, l'équation $1 + \sin x = 0$. 
		\item Démontrer que pour tout $x$ de $[0~;~2\pi],~ 1 + \sin x$ est positif ou nul. En déduire le signe de $g'(x)$ sur $[0~;~2\pi]$. 
	\end{enumerate} 
\item En déduire le sens de variation de $g$ sur $[0~;~2\pi]$. Dresser le tableau de variations de $g$ : on y indiquera les valeurs exactes de $g(0),~ g\left(\dfrac{3\pi}{2}\right)$ et $g(2\pi)$. 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 3 : \hfill 12 points}

\medskip
 
Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par : 

\[f(x) = \text{e}^{2x} - \text{e}^x  - 2\]

et $(\mathcal{C})$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthogonal \Oij, d'unités graphiques : 4~cm en abscisses et 2~cm en ordonnées.
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  En remarquant que pour tout $x$ de $\R,~f(x) = \left(\text{e}^x - 2\right)\left(\text{e}^x + 1\right)$, calculer la limite de $f$ en $+\infty$. 
		\item  Calculer la limite de $f$ en $-\infty$. En déduire que la courbe $(\mathcal{C})$ admet une asymptote dont on donnera une équation.
	\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Montrer que pour tout réel $x,~f'(x)$ peut s'écrire sous la forme : 
		
		\[f'(x) = \text{e}^x\left(2\text{e}^x -1\right).\] 
		\item  Résoudre dans $\R$ l'équation $2\text{e}^x - 1 = 0$. 
		\item  Résoudre dans $\R$ l'inéquation $2\text{e}^x - 1 > 0$. 
		\item  En déduire le signe de $f'(x)$ sur $\R$ et dresser le tableau de variations de $f$ sur $\R$. On y indiquera les limites trouvées et la valeur exacte de $f(- \ln 2)$. 
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Recopier et compléter le tableau suivant :
		 
Les valeurs numériques de $f$ seront arrondies à $10^{-2}$ près. 
		\item  Construire la courbe $(\mathcal{C})$ et son asymptote dans le repère \Oij.
	\end{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate}
		\item  Calculer une primitive $F$ de $f$ sur $\R$. 
		\item  Hachurer sur le graphique le domaine plan limité par la courbe $(\mathcal{C})$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x = \ln 2$ et $x = 1$. 
		\item Calculer, en unités d'aire, la valeur exacte de l'aire de ce domaine. En donner  ensuite, en cm$^2$, la valeur arrondie à $10^{-2}$ près.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}
\end{document}